Bài toán 1.
Chứng minh rằng, một số nguyên dương không thể nhỏ hơn $2, 3, 5, 6, 7$ hay $8$ lần so với số được viết ngược lại thứ tự các chữ số của số nguyên đó.
Bài toán 2.
Tìm số nguyên dương nhỏ hơn $4$ lần hay $9$ lần so với số được viết ngược lại thứ tự các chữ số của số đó.
Bài toán 3.
Tìm số nguyên nhỏ nhất có chữ số đầu bằng $7$ và giảm $3$ lần khi chữ số này được chuyển đến vị trí cuối. Tìm tất cả các số đó (Lưu ý là $2$ ý riêng rẽ nhé 
)
Bài toán 4.
Tìm số có $6$ chữ số, cho biết số này tăng $6$ lần khi $3$ chữ số cuối được chuyển lên vị trí đầu, không theo thứ tự nào.
Bài toán 5.
Chứng minh không có số có $8$ chữ số nào tăng lên $6$ lần khi $4$ chữ số cuối được chuyển đến vị trí đầu, với sự duy trì các thứ tự của chúng.
Giải như sau:Câu 1: $k.\overline{ab.....c}=\overline{c...ba}$
TH1: $k=2$ suy ra $a$ chẵn mà $a\le 4$ nên $a=2,4$, khi $a=2$ thì $2c$ tận cùng bằng $2$ hay $c=1,6$, $c=1$ loại, $c=6$ nhận thấy $2b$ cao nhất là $2.9+1$ nhớ bằng $19$ nên khi đó $2a+1$ hoặc $2a$ sẽ bằng $c$ vô lý vì không đủ lớn (do $c=6$ trong khi $a=2$) , khi $a=4$ thì $2c$ tân cùng bằng 4 $c=7,2<1>$ đều loại do $2.\overline{4....}\geq \overline{8....}$ nên $c\geq 8$ mâu thuẫn <1>
TH2: $k=3 \rightarrow a=1,2,3$, nếu $a=1$ khi đó $3c$ tận cùng $1$ nên $c=7$ nhưng nhận thấy $3b$ cao nhất là $3.9+2$ nhớ bằng $29$ nên $3a$ hoặc $3a+1$ hoặc $3a+2$ bằng $c$ vô lý do $c=7,a=1$, nếu $a=2$ khi đó $3c$ tận cùng bằng $2$ nên $c=4$ nhưng $3.\overline{2...}\geq \overline{6...} \rightarrow c\geq 6$ vô lý, nếu $a=3$ thì $c$ buộc bằng $9$ nhưng $3c$ tận cùng bằng $a$ và bằng $7$ nên $a=7$ loại
TH3: $k=5,6,7,8$ thì $a=1$ để đảm bảo về số chữ số ở tích khi đó $a=5$ thì $5.\overline{ab...c}$ tận cùng bằng $a=1$ loại do không chia hết cho $5$ và $a=6,8$ cũng loại do $k.\overline{ab...c}$ tận cùng số chẵn mà tận cùng $a=1$ lẻ nên loại
TH4: $k=7$ khi đó $a=1$ và $7c$ tận cùng bằng $a=1$ nên $c=3$ loại do $7.\overline{ab...c}\geq \overline{7...} \rightarrow c\geq 7$ vô lý
Vậy nên $k=2,3,5,6,7,8$ không thỏa, $đpcm$Bài 2: Với $9$ ta thấy ngay bài toán lớp 4 là tích $\overline{abcd}*9=\overline{dcba}$ giải xong được $\overline{abcd}=1089$
Với $4$ tương tự có $\overline{abcd}=2178$
Bài 3: Gọi số đó là $\overline{7a_na_{n-1}...a_1}$
Do đó $\overline{7a_na_{n-1}...a_1}=3\overline{a_na_{n-1}...a_17}=7.10^n+A=3(10A+7) \rightarrow 7(10^n-3)=29A \rightarrow A=\dfrac{7.(10^n-3)}{29}$
Nhận thấy $A$ luôn có $n$ chữ số, ta sẽ chứng minh $\dfrac{7.(10^n-3)}{29}$ luôn có $n$ chữ số
Thật vậy $\dfrac{7.(10^n-3)}{29}=\dfrac{699...979}{29}$ với $699...979$ có $n+1$ chữ số
Khi đó
$\dfrac{699...979}{30}<\dfrac{699...979}{29}<\dfrac{699...979}{20} \rightarrow \dfrac{699...97,9}{3}<\dfrac{699...979}{29}<\dfrac{699...97,9}{2}$
$\rightarrow 233..32<\dfrac{699...979}{29}<3499...999$
Với $233..32$ và $3499...99$ đều có $n$ chữ số
Do đó $\dfrac{699...979}{29}=\dfrac{7.(10^n-3)}{29}$ có $n$ chữ số với mọi $n$
Do đó ta chỉ cần tìm $n$ nhỏ nhất sao cho $7.(10^n-3)$ chia hết cho $29$ hay $10^n-3$ chia hết cho $29$ còn tổng quát thì có trên rồi
Mặt khác, ta có một tiên đoán sau đây, số $n$ nhỏ nhất $10^n-3$ chia hết cho $29$ phải nhỏ hơn $28$
Sở dĩ, ta nghĩ ra tiên đoán này là do theo định lý Fermat nhỏ thì $10^{28}-1$ chia hết cho $29$, và nhận thấy $10^{29}=10^1.10^{28} \equiv 10^1 \pmod{29}$ (do $10^{28} \equiv 1 \pmod{29}$ tương tự $10^{30} \equiv 10^2 \pmod{29}$ hay nói cách khác số dư chia cho $29$ lặp lại chu kì 28 số
Khi vậy thì $n$ nhỏ nhất thì $n<28$
Khi đoán xong, ta đã yên tâm, tìm $n<28$ và chú ý sau $29|10^{28}-1 \rightarrow 29|10^{28}-30 \rightarrow 29|10(10^{27}-3) \rightarrow 29|10^{27}-3$
Nên $n=27$ kết quả số nhỏ nhất đó là $7241379310344827586206896551$ 
Bài 4: Dành cho các bạn!!
Bài 5: $6\overline{abcdefgh}=\overline{efghabcd} \rightarrow 59999\overline{abcd}=9994\overline{efgh} \rightarrow 59999|efgh$ vô lý (do $gcd(59999,9994)=1$)
Do đó có $đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 24-04-2012 - 21:17
