Chủ đề này có 2 trả lời

[tieulyly1995]

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c =0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2} =1$. CMR : $a^{2}b^{2}c^{2} \leq \frac{1}{54}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 19-04-2012 - 20:19

[Jelouis]

Từ giả thiết , ta có :
$a+b=-c$
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}= \frac{2c^2-1}{2}$
$\Longrightarrow$ a,b là nghiệm của phương trình :
$x^2+cx+\frac{2c^2-1}{2} = 0 $
$\Delta = -3c^2+2 $
Để tồn tại $a,b $ thì $\Delta \geq 0 $
$\Longleftrightarrow \frac{-\sqrt{6}}{3}\leq x\leq \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ta có :
$a^2b^2c^2=(\frac{2c^2-1}{2})^2c^2 =$ $y$
Giờ ta chỉ cần tính đạo hàm và khảo sát tính biến thiên của hàm $y $
Ta tính được :
$y\leq f(\frac{-\sqrt{6}}{3})=f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{1}{54}$
Đẳng thức xảy ra tại $(a;b;c)=(\frac{-\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ hoặc $(a;b;c)=(\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{-\sqrt{6}}{6};\frac{-\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị.
Bài toán được giải quyết xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jelouis: 19-04-2012 - 22:13

[tieulyly1995]

Phương pháp sử dụng đạo hàm thì mình làm được rồi. Dù sao cũng cảm ơn bạn nhiều