Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 19-04-2012 - 20:19
Cho ba số thực $a,b,c$. CMR : $a^{2}b^{2}c^{2} \leq \frac{1}{54}$
Bắt đầu bởi tieulyly1995, 19-04-2012 - 20:18
ko sử dụng đạo hàm
#1
Đã gửi 19-04-2012 - 20:18
Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c =0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2} =1$. CMR : $a^{2}b^{2}c^{2} \leq \frac{1}{54}$
#2
Đã gửi 19-04-2012 - 21:53
Từ giả thiết , ta có :
$a+b=-c$
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}= \frac{2c^2-1}{2}$
$\Longrightarrow$ a,b là nghiệm của phương trình :
$x^2+cx+\frac{2c^2-1}{2} = 0 $
$\Delta = -3c^2+2 $
Để tồn tại $a,b $ thì $\Delta \geq 0 $
$\Longleftrightarrow \frac{-\sqrt{6}}{3}\leq x\leq \frac{\sqrt{6}}{3}$
Ta có :
$a^2b^2c^2=(\frac{2c^2-1}{2})^2c^2 =$ $y$
Giờ ta chỉ cần tính đạo hàm và khảo sát tính biến thiên của hàm $y $
Ta tính được :
$y\leq f(\frac{-\sqrt{6}}{3})=f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{1}{54}$
Đẳng thức xảy ra tại $(a;b;c)=(\frac{-\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ hoặc $(a;b;c)=(\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{-\sqrt{6}}{6};\frac{-\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị.
Bài toán được giải quyết xong.
$a+b=-c$
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}= \frac{2c^2-1}{2}$
$\Longrightarrow$ a,b là nghiệm của phương trình :
$x^2+cx+\frac{2c^2-1}{2} = 0 $
$\Delta = -3c^2+2 $
Để tồn tại $a,b $ thì $\Delta \geq 0 $
$\Longleftrightarrow \frac{-\sqrt{6}}{3}\leq x\leq \frac{\sqrt{6}}{3}$
Ta có :
$a^2b^2c^2=(\frac{2c^2-1}{2})^2c^2 =$ $y$
Giờ ta chỉ cần tính đạo hàm và khảo sát tính biến thiên của hàm $y $
Ta tính được :
$y\leq f(\frac{-\sqrt{6}}{3})=f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{1}{54}$
Đẳng thức xảy ra tại $(a;b;c)=(\frac{-\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ hoặc $(a;b;c)=(\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{-\sqrt{6}}{6};\frac{-\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị.
Bài toán được giải quyết xong.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jelouis: 19-04-2012 - 22:13
- tieulyly1995 yêu thích
Hope for the best , prepare for the worst.!!!
#3
Đã gửi 19-04-2012 - 22:46
Phương pháp sử dụng đạo hàm thì mình làm được rồi. Dù sao cũng cảm ơn bạn nhiều
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ko sử dụng, đạo hàm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh