Chủ đề này có 5 trả lời

[19kvh97]

Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm MIN của

A=$\left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{y^{2}} \right )$

[CD13]

Nhân phân phối ta được: $A=1+\frac{2}{xy}$
Áp dụng Cô si cho hai số dương $x, y$ được: $xy \le \frac{1}{4}$
$\to A \ge 1+2.4=9$

[tkvn97]

Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm MIN của

A=$\left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{y^{2}} \right )$

Mình xin chém luôn bài này :
$A = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})= 1-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}= 1 - (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=1+\frac{2}{xy}$
$xy\leq\bigl(\begin{smallmatrix} \frac{x+y}{2} \end{smallmatrix}\bigr)^{2} = \frac{1}{4}$
=> Min P = 9 khi x=y=1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 06-07-2012 - 17:11

[triethuynhmath]

Bài này luôn,
$A=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}$
=$1+\frac{1-(x+y)^2+2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}$$\geq 1+\frac{8}{(x+y)^2}=9$
Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

[hxthanh]

Nhiều cách quá, xin đóng góp thêm cách nữa!
$A=\dfrac{(1-x^2)(1-y^2)}{x^2y^2}=\dfrac{(y^2+2xy)(x^2+2xy)}{x^2y^2}\ge \dfrac{3\sqrt[3]{x^2y^4}.3\sqrt[3]{x^4y^2}}{x^2y^2}=9$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

[Albert einstein vip]

Ta có A = $\left ( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right ) \left ( 1 - \frac{1}{y^{2}}\right )$
= $\left ( \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} \right )\left ( \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} \right )$
= $\frac{\left ( x - 1 \right )\left ( y - 1 \right )\left ( x + 1 \right )\left ( y + 1 \right )}{x^{2}y^{2}}$
= $\frac{\left ( xy + x + y + 1 \right )\left ( xy - x - y + 1 \right )}{x^{2}y^{2}}$
= $\frac{xy\left ( xy + 2 \right )}{x^{2}y^{2}}$
= $\frac{ xy + 2}{xy}$
= $1 + \frac{2}{xy}$
Theo bất đẳng thức cô-si ta có : $4xy \leq \left ( x + y \right )^{2}$
$\Leftrightarrow 4xy \leq 1$
$\Leftrightarrow xy \leq \frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{2}{xy} \geq 8$
$\Rightarrow 1 + \frac{2}{xy} \geq 9$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$