1 reply to this topic

[thanhluong]

Có hay không các số nguyên $x$, $y$ sao cho $y^2=\frac{x^2-5}{2}$

[dactai10a1]

Có hay không các số nguyên $x$, $y$ sao cho $y^2=\frac{x^2-5}{2}$

Ta có nhận xét,số chính phương lẻ chia 8 dư 1
Thật vậy, xét a=2k+1 với k là số tự nhiên ta có \[{a^2} = {(2k + 1)^2} = 4k(k + 1) + 1 \equiv 1(\bmod 8)\]
Trở lại bài toán,do giả thiết ta có ${x^2} - 5$ là số chẵn.Suy ra x là số lẻ
Áp dụng bổ đề ta có ${x^2} - 5$ chia 8 dư -4 hay ${x^2} - 5$ chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8
${x^2} - 5$ chia hết cho 4,suy ra ${y^2}$ chia hết cho 2,suy ra y chia hết cho 2 ,suy ra ${y^2}$ chia hết cho 4
suy ra ${x^2} - 5$ chia hết cho 8 (mâu thuẫn)
Vậy không tồn tại x,y thỏa đề bài

Edited by dactai10a1, 30-07-2012 - 09:32.