Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-08-2012 - 19:49
Chứng minh: $\frac{a+4}{a(a^2+bc+c^2)}+\frac{b+4}{b(b^2+ac+a^2)}+\frac{c+4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$
#1
Đã gửi 10-08-2012 - 19:48
- Secrets In Inequalities VP yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 10-08-2012 - 20:16
BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Ta có BĐT quen thuộc sau :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=1$$
ÁP dụng AM-GM , lại có :
$$\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)} \ge \dfrac{12}{\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}} \ge \dfrac{36}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )+ab+bc+ca} =\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Như vậy, cần chứng minh :
$$\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}+1\ge \dfrac{30}{a^2+b^2+c^2+3} \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge 3$$
Hiển nhiên đúng.
BĐT đã được chứng minh.
- Ispectorgadget, WhjteShadow, davildark và 1 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#3
Đã gửi 10-08-2012 - 20:46
$$\Leftrightarrow$\dfrac{1}{a^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{b^2+ac+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ab+b^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 10-08-2012 - 20:46
- Tham Lang yêu thích
#4
Đã gửi 10-08-2012 - 20:55
Hì, anh nhầm rồi mod xoá nhéEm nghĩ là BĐT thế này chú nhỉ anh Mít .
$$\Leftrightarrow$\dfrac{1}{a^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{b^2+ac+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ab+b^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#5
Đã gửi 10-08-2012 - 21:01
GiảiCho $a,b,c>0; a+b+c=3$. Chứng minh: $$\frac{a+4}{a(a^2+bc+c^2)}+\frac{b+4}{b(b^2+ac+a^2)}+\frac{c+4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$
BĐT đưa về được dạng sau
\[\frac{{a + 4}}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{{b + 4}}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{{c + 4}}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}\]
\[=\frac{1}{{{a^2} + bc + {c^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + ca + {a^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + ab + {b^2}}} + 4\left( {\frac{1}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{1}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{1}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}} \right)\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{12}}{{\sqrt[3]{{a({a^2} + bc + {c^2})b({b^2} + ac + {a^2})c({c^2} + ab + {b^2})}}}}\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{36}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{45}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{30}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3}}\]
p/s:Huy chỉ nhầm 1 chút thôi lời giải cơ bản là chuẩn rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 10-08-2012 - 21:01
- Tham Lang, nthoangcute, Secrets In Inequalities VP và 2 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 26-07-2013 - 07:15
Lời giải :
BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Ta có BĐT quen thuộc sau :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=1$$
ÁP dụng AM-GM , lại có :
$$\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)} \ge \dfrac{12}{\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}} \ge \dfrac{36}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )+ab+bc+ca} =\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Như vậy, cần chứng minh :
$$\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}+1\ge \dfrac{30}{a^2+b^2+c^2+3} \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge 3$$
Hiển nhiên đúng.
BĐT đã được chứng minh.
Bđt quen thuộc đó chứng minh thế nào anh ?
#7
Đã gửi 26-07-2013 - 07:18
Giải
BĐT đưa về được dạng sau
\[\frac{{a + 4}}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{{b + 4}}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{{c + 4}}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}\]
\[=\frac{1}{{{a^2} + bc + {c^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + ca + {a^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + ab + {b^2}}} + 4\left( {\frac{1}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{1}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{1}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}} \right)\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{12}}{{\sqrt[3]{{a({a^2} + bc + {c^2})b({b^2} + ac + {a^2})c({c^2} + ab + {b^2})}}}}\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{36}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{45}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{30}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3}}\]
p/s:Huy chỉ nhầm 1 chút thôi lời giải cơ bản là chuẩn rồi
Bài này sai rồi mà.
#8
Đã gửi 26-07-2013 - 13:07
Bài này sai rồi mà.
Sai thì em phải chỉ ra xem nó sai ở đâu nhé.ANh thấy em viết bài mang đậm tính spam.Em mới tham gia diễn đàn.Tốt nhất nên đọc kĩ nội quy trước
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mathlinks
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$a+b+c=3$Bắt đầu bởi neusolve, 25-07-2013 mathlinks |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh