1 hình thức nhận biết số Lucas
Bài toán: Ta gọi một số là số Lucas khi chúng là phần tử trong dãy Lucas :$ \{L_{n} \}_{1}^{\infty}:\left\{\begin{matrix} L_1=1;L_2=3 \\ L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n};\forall n \ge 1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $x$ là số Lucas $\iff 5x^2 \pm 20$ là số chính phương.
#2
Posted 16-10-2012 - 10:03
Thuận:
Dễ dàng chứng minh
Số hạng tổng quát của dãy Lucas là
$L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Trong khi đó số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là
$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Từ đây không khó để suy ra được $L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$ hay $5L_n^2-20(-1)^n=25F_n^2$
Đây có lẽ là điều phải chứng minh
Tuy vậy phần đảo thì không biết phải làm thế nào!
Dễ dàng chứng minh
Số hạng tổng quát của dãy Lucas là
$L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Trong khi đó số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là
$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Từ đây không khó để suy ra được $L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$ hay $5L_n^2-20(-1)^n=25F_n^2$
Đây có lẽ là điều phải chứng minh
Tuy vậy phần đảo thì không biết phải làm thế nào!
- E. Galois, perfectstrong, robin997 and 1 other like this
#3
Posted 16-10-2012 - 21:42
Chiều đảo là phương trình Pell thì phải
TH1: $5x^2+20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=20 \quad (1)$
Xét một bộ nghiệm tự nhiên nguyên thủy $(x_0;y_0)$ của $(1)$, ta xây dựng dãy các nghiệm tự nhiên của $(1)$ là
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 1;y_1 = 5 \\
x_{n + 1} = \frac{{y_n + 3x_n }}{2};y_{n + 1} = \frac{{3y_n + 5x_n }}{2} \\
\end{array} \right.
\]
Chỉ cần chứng minh cách xây dựng nghiệm trên quét hết các nghiệm nguyên dương của $(1)$
Tìm được công thức tổng quát của $(x_n)$ với chú ý $x_1=1;x_2=4$
\[
\begin{array}{l}
2x_{n + 1} - 3x_n = y_n \\
\Rightarrow 4x_{n + 2} - 6x_{n + 1} = 2y_{n + 1} = 3\left( {2x_{n + 1} - 3x_n } \right) + 5x_n \\
\Rightarrow x_{n + 2} - 3x_{n + 1} + x_n = 0 \\
\Rightarrow x_n = - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n \\
= - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} \\
= \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} + \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} \\
= L_{2n - 1} \\
\end{array}
\]
TH2: $5x^2-20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=-20 \quad (2)$
Cách xây dựng nghiệm tương tự, chỉ khác bộ nghiệm nguyên thủy là $x_1=3;y_1=5$
Từ đó suy ra $x_n=L_{2n}$
Vậy chiều đảo được chứng minh.
TH1: $5x^2+20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=20 \quad (1)$
Xét một bộ nghiệm tự nhiên nguyên thủy $(x_0;y_0)$ của $(1)$, ta xây dựng dãy các nghiệm tự nhiên của $(1)$ là
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 1;y_1 = 5 \\
x_{n + 1} = \frac{{y_n + 3x_n }}{2};y_{n + 1} = \frac{{3y_n + 5x_n }}{2} \\
\end{array} \right.
\]
Chỉ cần chứng minh cách xây dựng nghiệm trên quét hết các nghiệm nguyên dương của $(1)$
Tìm được công thức tổng quát của $(x_n)$ với chú ý $x_1=1;x_2=4$
\[
\begin{array}{l}
2x_{n + 1} - 3x_n = y_n \\
\Rightarrow 4x_{n + 2} - 6x_{n + 1} = 2y_{n + 1} = 3\left( {2x_{n + 1} - 3x_n } \right) + 5x_n \\
\Rightarrow x_{n + 2} - 3x_{n + 1} + x_n = 0 \\
\Rightarrow x_n = - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n \\
= - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} \\
= \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} + \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} \\
= L_{2n - 1} \\
\end{array}
\]
TH2: $5x^2-20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=-20 \quad (2)$
Cách xây dựng nghiệm tương tự, chỉ khác bộ nghiệm nguyên thủy là $x_1=3;y_1=5$
Từ đó suy ra $x_n=L_{2n}$
Vậy chiều đảo được chứng minh.
- hxthanh, PRONOOBCHICKENHANDSOME, robin997 and 2 others like this
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Posted 24-06-2013 - 02:24
Ta có $1$ bài toán đẹp dùng dãy Lucas đây
Cho dãy $ \{ a_n\} $ xác định bởi
$ a_1=3 $,$ a_2=7 $,$ a_n^2+5=a_{n-1}a_{n+1} $,$ n\geq 2 $
Nếu $ a_n+(-1)^n $ là số nguyên tố
CMR tồn tại $m$ tự nhiên sao cho $ n=3^m $
Edited by barcavodich, 24-06-2013 - 02:25.
- dark templar, hxthanh, mat troi be nho and 1 other like this
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Also tagged with one or more of these keywords: dãy số 7., hxthanh, perfectstrong
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh đường thẳng qua $A$ vuông góc $\Delta$ luôn đi qua một điểm cố định.Started by nguyenthehoan, 22-12-2013 perfectstrong |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh rằng $A_1,N_1,Y,Z$ đồng viên.Started by The Collection, 13-12-2013 perfectstrong, nguyenthehoan |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $OMN$ thuộc một đường thẳng cố định.Started by nguyenthehoan, 04-06-2013 perfectstrong |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$...\sum^{n-1}_{k=1}(-1)^{\left[\frac{km}{n}\right]}.\left\{\frac{km}{n}\right\}$$Started by WhjteShadow, 15-04-2013 hxthanh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$\sum^{(p-1)(p-2)}_{k=1}\left[\sqrt[3]{kp}\right]=\frac{(3p-5)(p-2)(p-1)}{4}$$Started by WhjteShadow, 11-04-2013 hxthanh |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users