Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Xét dãy số $\{x_{n} \}_{0}^{\infty}:\left\{\begin{matrix}0<a;b<4 \\ x_0=a;x_1=b\\ x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_{n})}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_{n}}}
\end{matrix}\right.$
Tìm giới hạn của dãy số này nếu có.

[Juliel]

Bài toán: Xét dãy số $\{x_{n} \}_{0}^{\infty}:\left\{\begin{matrix}0<a;b<4 \\ x_0=a;x_1=b\\ x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_{n})}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_{n}}}
\end{matrix}\right.$
Tìm giới hạn của dãy số này nếu có.

Xét dãy số phụ $(x_n)$ như sau :

$$\left\{\begin{matrix} x_0=min\left \{ a,b \right \}\\ x_{n+1}=2\sqrt{x_n} \end{matrix}\right.$$

Bằng quy nạp ta được :

$$0< x_n< 4,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Từ đó $x_{n+1}-x_n=\sqrt{x_n}(2-\sqrt{x_n})> 0$ nên dãy $(x_n)$ tăng. Kết hợp với việc $(x_n)$ bị chặn trên ta suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn $L$ của nó. Giải phương trình giới hạn ta được $L\in \left \{ 0,4 \right \}$.

Nhưng để ý thì thấy :

$$0<x_0<x_1<....<x_n<....$$ 

Nên phải có $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=4$

Ta có $a_0,a_1 \in (0,4)$, giả sử rằng $a_{n},a_{n+1} \in (0,4)$. Ta có :

$$a_{n+2}=\dfrac{2(a_{n+1}+a_n)}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}< \dfrac{2\left ( 2\sqrt{a_{n+1}}+2\sqrt{a_n} \right )}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=4$$

Theo nguyên lí quy nạp ta được $a_n$ bị chặn trên bởi $4$. Do dãy phụ $x_n\rightarrow 4$ nên ý tưởng của ta ở đây là sử dụng nguyên lí kẹp với :

$$x_n\leq a_n< 4$$

Ta sẽ chứng minh :

$$x_n\leq min\left \{ a_{2n},a_{2n+1} \right \},\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;(*)$$

Với $n=0$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng. Gỉa sử có $(*)$. Xét với $n+1$ :

Sử dụng BĐT quen thuộc $2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$ ta được :

$$a_{2n+2}=\dfrac{2\left ( a_{2n+1}+a_{2n} \right )}{\sqrt{a_{2n+1}}+\sqrt{a_{2n}}}\geq \sqrt{a_{2n+1}}+\sqrt{a_{2n}}\geq 2\sqrt{x_n}=x_{n+1}$$

$$a_{2n+3}=\dfrac{2\left ( a_{2n+2}+a_{2n+1} \right )}{\sqrt{a_{2n+2}}+\sqrt{a_{2n+1}}}\geq \sqrt{a_{2n+2}}+\sqrt{a_{2n+1}}\geq \sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_n}\geq 2\sqrt{x_n}=x_{n+1}$$

Vậy nên $(*)$ cũng đúng với $n+1$. Theo nguyên lí quy nạp thì $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên. 

Ta được :

$$x_n\leq min\left \{ a_{2n},a_{2n+1} \right \}\leq max\left \{ a_{2n},a_{2n+1} \right \}< 4$$

Theo nguyên lí kẹp ta được hai dãy $(a_{2n}),(a_{2n+1})$ hội tụ về $4$. Suy ra $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}a_n=4$