Chứng minh đẳng thức sau với $n$ là số nguyên dương
$S=\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=(n+2)2^{2n-1}-\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$
$\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=(n+2)2^{2n-1}-\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$
Bắt đầu bởi hxthanh, 29-10-2012 - 16:58
supermember the gunner karl heinrich marx e. galois perfectstrong and you
#1
Đã gửi 29-10-2012 - 16:58
- namcpnh, HÀ QUỐC ĐẠT, The Gunner và 7 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 07-11-2012 - 18:15
Không gì khó chịu hơn việc khi gặp một bài toán khó mà trong đầu chỉ có mỗi ý tưởng biến đổi tương đương.Chứng minh đẳng thức sau với $n$ là số nguyên dương
$S=\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=(n+2)2^{2n-1}-\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$
Vế trái tương đương với:
$\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}][\sum_{i=0}^n (i+1).\binom{n}{i}]-\sum_{i>j}[(i-j).\binom{n}{i}.\binom{n}{j}]$
Rõ ràng dễ thấy ngay $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}=2^n$ và $\sum_{i=0}^n (i+1).\binom{n}{i}=2^n+n2^{n-1}$. Thành thử bài toán quy về việc chứng minh:
$\sum_{i>j}[(i-j).\binom{n}{i}.\binom{n}{j}]=\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$ (*)
Thật đáng tiếc đẳng thức (*) đã được các bác chứng minh ở http://diendantoanho...racn2binom2nn/. Như vậy bài toán đã được giải quyết.
- perfectstrong, hxthanh, namcpnh và 7 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: supermember, the gunner, karl heinrich marx, e. galois, perfectstrong, and you
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Ứng dụng →
Những chủ đề Toán Ứng dụng khác →
Nguyên tắc xây dựng luật điểm thi đấu Vietnamese Mathematical Forum Marathon 2013Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 22-04-2022 mhs, e. galois, stats, envy-free và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Một bài tổ hợp từ một bài số họcBắt đầu bởi Karl Heinrich Marx, 26-03-2017 supermember |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$P(n,m)=\sum_{k=1}^n \prod_{r=0}^m(k+2r)$Bắt đầu bởi hxthanh, 17-06-2015 summation, karl heinrich marx |
|
|||
pom
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
Bài toán tháng 8/2014 - Trò chơi Đoán SốBắt đầu bởi hxthanh, 22-06-2014 pom, e. galois, supermember |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh