1 reply to this topic

[19kvh97]

Cho $0<a,b,c<\frac{5}{4}$ và $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a}{5-2(b+c)}\geq \frac{9}{a+b+c}$

[khong la gi ca]

Cho $0<a,b,c<\frac{5}{4}$ và $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a}{5-2(b+c)}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Theo đề bài $abc=1$ do đó sử dụng bđt AM-GM ta được
$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3$
Mặt khác bđt Cauchy-Schwarz cho ta
$\left ( \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} +\frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \right ) \left ( y_{1} + y_{2} + y_{3} \right ) \geq \left ( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right )^{2}$
$\Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} +\frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{ \left ( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right )^{2}}{ \left ( y_{1} + y_{2} + y_{3} \right )}$
Sử dụng kết quả trên và kết hợp với bđt Am-GM ta có được
$\sum \frac{a}{5-2(b+c)} \geq \frac{ \left ( \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\right )^{2}}{15 - 4(a+b+c)}
\geq \frac{\left ( 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}} \right )^{2}}{15 - 4(a+b+c)}
\geq \frac{9}{15-4.3} = 3$
Mà $3 \geq \frac{9}{a+b+c} $
Từ đó suy ra đpcm.

Edited by khong la gi ca, 26-11-2012 - 00:35.