Cho $0<a,b,c<\frac{5}{4}$ và $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a}{5-2(b+c)}\geq \frac{9}{a+b+c}$
#1
Đã gửi 25-11-2012 - 21:23
#2
Đã gửi 26-11-2012 - 00:34
Cho $0<a,b,c<\frac{5}{4}$ và $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a}{5-2(b+c)}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Theo đề bài $abc=1$ do đó sử dụng bđt AM-GM ta được
$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3$
Mặt khác bđt Cauchy-Schwarz cho ta
$\left ( \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} +\frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \right ) \left ( y_{1} + y_{2} + y_{3} \right ) \geq \left ( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right )^{2}$
$\Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} +\frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{ \left ( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right )^{2}}{ \left ( y_{1} + y_{2} + y_{3} \right )}$
Sử dụng kết quả trên và kết hợp với bđt Am-GM ta có được
$\sum \frac{a}{5-2(b+c)} \geq \frac{ \left ( \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\right )^{2}}{15 - 4(a+b+c)}
\geq \frac{\left ( 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}} \right )^{2}}{15 - 4(a+b+c)}
\geq \frac{9}{15-4.3} = 3$
Mà $3 \geq \frac{9}{a+b+c} $
Từ đó suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 26-11-2012 - 00:35
- 19kvh97, no matter what và Waiting for you thích
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: st
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$\sqrt{2-x}-\sqrt[3]{2x^2+6x+3}+2=0$Bắt đầu bởi TranLeQuyen, 10-10-2013 st |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác →
giải pt lượng giácBắt đầu bởi 19kvh97, 05-09-2013 st |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Min $P=\frac{9}{1-2(x^2+y^2+z^2)}+\frac{2}{xyz}$Bắt đầu bởi 19kvh97, 29-06-2013 st |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR: $\frac{c}{ab(2ab+1)}+\frac{b}{ca(2ca+1)}+\frac{c}{bc(2bc+1)}\geq 1$Bắt đầu bởi 19kvh97, 16-06-2013 st |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$abc=1$.cmr$\sum \frac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}\leq \frac{1}{3}\sum \frac{1}{a}$Bắt đầu bởi 19kvh97, 25-05-2013 st |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh