Bài 67. Tìm x,y nguyên : $\left ( y+2 \right )x^{2}+1=y^{2}$
Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.
#81
Posted 31-03-2013 - 20:02
- Zaraki, pham anh quan, LNH and 7 others like this
Issac Newton
#82
Posted 31-03-2013 - 20:03
Bài 68. Tìm x,y nguyên $y(x-1)=x^{2}+1$
Edited by khonggiadinh, 31-03-2013 - 20:03.
- Zaraki, pham anh quan, LNH and 7 others like this
Issac Newton
#83
Posted 31-03-2013 - 20:07
Bài 69. Tìm tất cả các chữ số b sao cho : $\underset{2n c/s}{\underbrace{1111...11}}-\underset{n c/s}{\underbrace{\overline{bbb.bbb}}}$
là số chính phương
- Zaraki, pham anh quan, LNH and 7 others like this
Issac Newton
#84
Posted 31-03-2013 - 20:29
Bài 67. Tìm x,y nguyên : $\left ( y+2 \right )x^{2}+1=y^{2} \qquad (1)$
Lời giải. Phương trình tương đương với $(y+2)x^2=(y-1)(y+1)$.
Ta thấy $y+2|(y-1)(y+1)$ mà $(y+1,y+2)=1$ nên $y+2|y-1$ hay $y+2|3$.
Do đó $y+2 \in \{ \pm 1, \; \pm 3 \} \Rightarrow y \in \{ -1,-3,1,-5 \}$.
Với $y=-1$ thì $(1) \Leftrightarrow 1+x^2=1 \Leftrightarrow x=0$.
Với $y=-3$ thì $(1) \Leftrightarrow 1-x^2=9 \Leftrightarrow x^2=-8$, mâu thuẫn.
Với $y=1$ thì $(1) \Leftrightarrow 3x^2+1=1 \Leftrightarrow x=0$.
Với $y=-5$ thì $(1) \Leftrightarrow 1-3x^2=25 \Leftrightarrow 3x^2=-24$, mâu thuẫn.
Vậy $\boxed{(x,y)=(0;1),(0;-1)}$.
- caybutbixanh, DarkBlood and Trang Luong like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#85
Posted 31-03-2013 - 20:35
Bài 68. Tìm x,y nguyên $y(x-1)=x^{2}+1$
Lời giải. Phương trình tương đương với $(1-x)(x+1-y)=2$.
Nếu $1-x=1,x+1-y=2$ thì $x=0,y=-1$.
Nếu $1-x=2,x+1-y=1$ thì $x=-1,y=-1$.
Nếu $1-x=-1,x+1-y=-2$ thì $x=2,y=5$.
Nếu $1-x=-2,x+1-y=-1$ thì $x=3,y=5$.
Vậy phương trình có nghiệm $\boxed{(x;y)=(0;-1),(-1;-1),(2;5),(3;5)}$.
- N H Tu prince and DarkBlood like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#86
Posted 01-04-2013 - 00:41
Bài 69. Tìm tất cả các chữ số b sao cho : $\underset{2n c/s}{\underbrace{1111...11}}-\underset{n c/s}{\underbrace{\overline{bbb.bbb}}}$
là số chính phương
Không biết đúng không nữa
Xét $n=1,$ ta có:
$11-\overline{b}$ phải là số chính phương.
Thử lần lượt giá trị của $b$ $(0\leq b\leq 9;\ b\in \mathbb{N})$ được $b=2$ và $b=7$ thỏa mãn.
Xét $n=2,$ ta có:
$1111-\overline{bb}$ phải là số chính phương.
Với $b=2,$ ta có: $1111-22=1089=33^2,$ là số chính phương.
Với $b=7,$ ta có: $1111-77=1034,$ không là số chính phương. $($Loại$)$
Bây giờ ta chứng minh với $b=2$ thì $\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}-\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{bbb...bbb}}}$ luôn là số chính phương.
Đặt $\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}=k$ $(k\in \mathbb{N}^*)$
Khi đó:
$\bullet $ $10^n=9k+1$
$\bullet $ $\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}=\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}.10^n+\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}=k(9k+1)+k=9k^2+2k$
$\bullet $ $\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{222...222}}}=2k$
Do đó:
$\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}-\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{222...222}}}=9k^2+2k-2k=9k^2,$ là số chính phương.
Vậy $\boxed{b=2}.$
Edited by Hoang Huy Thong, 01-04-2013 - 00:42.
- Zaraki, caybutbixanh, Tienanh tx and 1 other like this
#87
Posted 04-04-2013 - 20:17
Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$
Issac Newton
#88
Posted 04-04-2013 - 20:43
Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$
Ta có: $9x^{2}+3y=y^{2}+8\Leftrightarrow y^{2}-3y+8-9x^{2}=0(1)$
Xét phương trình $(1)$ có $\Delta =36x^{2}-23$
Để phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương
Đặt $36x^{2}-23=t^{2}\Leftrightarrow (6x-t)(6x+t)=23$
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(6x-t)(6x+t)$ là tích $2$ số nguyên
Mà $23$ viết thành tích $2$ số nguyên có các trương hợp là $23=1.23=-1.(-23)$
$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=1 & \\ 6x+t=23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ t=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$
$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=-1 & \\ 6x+t=-23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ t=-11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có $4$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(2;-4);(2;7);(-2;-4);(-2;7)$
Edited by duaconcuachua98, 04-04-2013 - 20:45.
- Zaraki and Trang Luong like this
#89
Posted 04-04-2013 - 21:43
Bài 71: GPT nghiệm nguyên: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1$
Mod. Nhớ ghi số thứ tự
Edited by Phạm Quang Toàn, 05-04-2013 - 17:22.
- Zaraki and Trang Luong like this
B.F.H.Stone
#90
Posted 05-04-2013 - 17:16
GPT nghiệm nguyên: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1$
Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc
ta có :
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$
Với $x=-1$$\Rightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=1\Rightarrow y=0$
Với $x\neq -1$
ta có : $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$
Edited by khonggiadinh, 05-04-2013 - 21:01.
- pham anh quan, DarkBlood, NguyenKieuLinh and 6 others like this
Issac Newton
#91
Posted 05-04-2013 - 20:12
Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc
ta có :
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$
mà $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$
cứ làm đi rồi bạn sẽ thấy thiếu
B.F.H.Stone
#92
Posted 05-04-2013 - 20:18
cứ làm đi rồi bạn sẽ thấy thiếu
Thiếu ở đâu hả bạn, mong bạn chỉ ra cho mình
- pham anh quan, DarkBlood, 4869msnssk and 5 others like this
Issac Newton
#93
Posted 05-04-2013 - 20:21
có lẽ mình nhầm nhưng bạn nên viết cách biến đổi ra để mọi người cùng biết
B.F.H.Stone
#94
Posted 05-04-2013 - 20:28
Bài 72:
Tìm $x,y,z$ nguyên để $xyz=x^{2}-2z+2$
#95
Posted 05-04-2013 - 20:37
Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc
ta có :
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$
mà $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )$$<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$
Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!
(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)
Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$
Đâu có sai
và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu
Edited by Nguyen Duc Thuan, 05-04-2013 - 20:50.
#96
Posted 05-04-2013 - 20:44
Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!
(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)
Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$
Đâu có sai
và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu
Edited by khonggiadinh, 05-04-2013 - 20:46.
Issac Newton
#97
Posted 05-04-2013 - 20:46
Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!
(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)
khai triển ra phải còn thừa $x(3x+4)$
B.F.H.Stone
#98
Posted 05-04-2013 - 20:48
Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$
Đâu có sai
và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu
đây là $2x+x$ chứ
B.F.H.Stone
#99
Posted 05-04-2013 - 20:53
khai triển ra phải còn thừa $x(3x+4)$
Ta có : $x(3x+4)=0$ đúng ko
mà $3x+4$ khác 0 $\Rightarrow x=0\neq 0$
Mà sai chỗ nào bạn hãy chỉ rõ ra, và sửa chữa. Nếu cách mình sai mong các bạn có lời giải khác
P/s: Nói nhiu với các bạn mình sẽ spam mất
Edited by khonggiadinh, 05-04-2013 - 21:02.
- pham anh quan, DarkBlood, 4869msnssk and 5 others like this
Issac Newton
#100
Posted 06-04-2013 - 10:45
Bài 73: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên:
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=194\\ x^2z^2+y^2z^2=4225 \end{matrix}\right.$
- Zaraki, duaconcuachua98 and Near Ryuzaki like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users