Bài 51. Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn: $xyz = 9+x+y+z$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y \geq z$
Ta có:
$xyz=9+x+y+z\leq 9+3x$
$\Rightarrow yz\leq \frac{9}{x}+3\leq 9+3=12$
$\Rightarrow z^2\leq 12$
$\Rightarrow z\in \left \{ 1;2;3 \right \}$
Trường hợp 1: $z=1$
Phương trình tương đương:
$xy=10+x+y$
$\Rightarrow x(y-1)=y+10$
Dễ thấy $y\neq 1$
$\Rightarrow x=\frac{y+10}{y-1}=1+\frac{11}{y-1}$
Để $x$ nguyên $(y \in \mathbb{Z})$ thì $y-1\in \texed{Ư}(11)$
Lại có $y-1\geq0$ nên $y-1\in \left \{ 1;11 \right \}\Leftrightarrow y\in\left \{ 12;2 \right \}$
Từ đó có: $x=2,$ $x=12.$
Trường hợp 2: $z=2$
Phương trình tương đương:
$2xy=11+x+y$
$\Rightarrow x(2y-1)=y+11$
$\Rightarrow x=\frac{y+11}{2y-1}$ $(2y-1\neq 0$ do $y \in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 2x=\frac{2y+22}{2y-1}=1+\frac{23}{2y-1}$
Để $x$ nguyên $(y \in \mathbb{Z})$ thì $2y-1\in \texed{Ư}(23)$
Lại có $2y-1\geq1$ nên $2y-1\in \left \{ 1;23 \right \}\Leftrightarrow y\in\left \{ 1;12 \right \}$
Từ đó có: $x=12,$ $x=1.$
Trường hợp 3: $z=3$
Phương trình tương đương:
$3xy=12+x+y$
$\Rightarrow x(3y-1)=y+12$
$\Rightarrow x=\frac{y+12}{3y-1}$ $(3y-1\neq 0$ do $y \in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 3x=\frac{3y+36}{3y-1}=1+\frac{37}{3y-1}$
Để $x$ nguyên $(y \in \mathbb{Z})$ thì $3y-1\in \texed{Ư}(37)$
Lại có $3y-1\geq 2$ nên $3y-1=37\Leftrightarrow y=\frac{38}{3},$ loại do $y \in \mathbb{Z}$
Thử lại các trường hợp 1 và 2 đều thấy đúng.
Vậy $\boxed{(x;y;z)=(12;2;1),(2;12;1),(12;1;2),(1;12;2)}$ và các hoán vị của các bộ số này.