$\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{2n\choose 2k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{3n\choose n+k}$
#1
Đã gửi 08-01-2013 - 17:04
Chứng minh đẳng thức:
$$\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{2n\choose 2k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{3n\choose n+k}=S_n$$
______
Câu hỏi phụ:
Chứng minh rằng: $\left\{\begin{align*}&S_{2m+1}=0\\& \quad \\&S_{2m}=\dfrac{(-1)^m(6m)!(2m)!}{m!(3m)!(4m)!}\end{align*}\right.\quad\Bigg| \quad m\in\mathbb N$
- dark templar và nthoangcute thích
#2
Đã gửi 10-01-2013 - 19:32
Tạm thời giải quyết cái đẳng thức này trước đã,còn câu hỏi phụ sẽ tính sauTặng riêng dark templar cùng tất cả các bạn một bài đơn giản sau:
Chứng minh đẳng thức:
$$\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{2n\choose 2k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{3n\choose n+k}=S_n$$
Giờ ta xét 1 đẳng thức hiển nhiên sau :
$$(x^2-1)^{n}(x+1)^{2n}=(x-1)^{n}(x+1)^{3n}$$
Khai triển hoàn toàn bình thường bằng Nhị Thức Newton cả 2 vế,ta sẽ có :
$\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j}x^{2j} \right)\left(\sum_{j=0}^{2n}\binom{2n}{j}x^{j} \right)=\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j}x^{j} \right)\left(\sum_{j=0}^{3n}\binom{3n}{j}x^{j} \right)$
Hay :
$\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\binom{n}{j}x^{2j} \right)\left(\sum_{j=0}^{2n}\binom{2n}{j}x^{j} \right)=\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\binom{n}{j}x^{j} \right)\left(\sum_{j=0}^{3n}\binom{3n}{j}x^{j} \right)$
Ta đặt $a_{k};b_{k};c_{k};d_{k}$ lần lượt là hệ số của $x^{k}$ trong các khai triển $(x^2-1)^{n};(x+1)^{2n};(x-1)^{n};(x+1)^{3n}$.
Sẽ thấy ngay rằng :
- $a_{k}$ với $k=\overline{0;2n}$.
- $b_{k}$ với $k=\overline{0;2n}$.
- $c_{k}$ với $k=\overline{0;n}$.
- $d_{k}$ với $k=\overline{0;3n}$.
- $a_{2m}=(-1)^{j}\binom{n}{j}$ với $m=\overline{0;n}$.
- $a_{2m+1}=0$ với $m=\overline{0;n}$.
$$\sum_{k=0}^{2n}a_{k}b_{2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}c_{k}d_{2n-k} \quad (*)$$
Hay :
$$\sum_{k=0}^{n}a_{2k}b_{2n-2k}=\sum_{k=0}^{n}c_{k}d_{2n-k}$$
Hay :
$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{2n}{2n-2k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{3n}{2n-k}$$
Hay theo quy tắc đối xứng thì :
$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{2n}{2k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{3n}{n+k}$$
Đã chứng minh xong
P.s: Nếu bạn nào thắc mắc về công thức (*) thì nó xuất phát từ công thức nhân 2 đa thức như sau :
$$\left(\sum_{j=0}^{m}a_{j}x^{j} \right)\left(\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i} \right)=\sum_{r=0}^{m+n}\left(\sum_{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k} \right)x^{r}$$
- perfectstrong, hxthanh và nguyenta98 thích
#3
Đã gửi 26-05-2013 - 17:13
Câu hỏi phụ:
Chứng minh rằng: $\left\{\begin{align*}&S_{2m+1}=0\\& \quad \\&S_{2m}=\dfrac{(-1)^m(6m)!(2m)!}{m!(3m)!(4m)!}\end{align*}\right.\quad\Bigg| \quad m\in\mathbb N$
_________________________
Tổng quát:
$$\sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n}{2k}=\dfrac{2^n\cos\left ( \dfrac{n\pi}{2} \right ) (n-1)! (3n-1)!!}{n (2n-1)!! (n-1)!! (n-2)!!(n-2)!!}$$
_________________________
Thầy Thanh post lời giải đi ...
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#4
Đã gửi 26-05-2013 - 18:23
_________________________
Tổng quát:
$$\sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n}{2k}=\dfrac{2^n\cos\left ( \dfrac{n\pi}{2} \right ) (n-1)! (3n-1)!!}{n (2n-1)!! (n-1)!! (n-2)!!(n-2)!!}$$_________________________
Thầy Thanh post lời giải đi ...
Bài này là Ví dụ 2.2 trong chuyên đề ĐTTH mà em!
- nthoangcute yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dark templar, forall
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các dạng toán khác →
Một số bài toán tính tổng chọn lọcBắt đầu bởi hxthanh, 02-04-2013 dark templar, hxthanh, for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$a^2 + b^2 + c^2 + 3 + 6\sqrt 2 \ge \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {a + b + c} \right)$Bắt đầu bởi perfectstrong, 05-12-2012 dark templar, mọi người |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
CMR: $\sum_j\sum_k{4j\choose 2k}{2j-k\choose 2j-2m}=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 29-11-2012 dark templar, đẳng thức và . |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh