Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho đa thức $f(x)=x^{2013}+a_1x^{2012}+...+a_{2013}$ và có các nghiệm $b_1,b_2,...,b_{2013}$. Chứng minh rằng:
Nếu $x_0>\max\{b_1,b_2,...,b_{2013}\}$
Thì$$f(x_0+1)\left(\frac{1}{x_0-b_1}+...+\frac{1}{x_0-b_{2013}}\right) \ge 2$$

[WhjteShadow]

Viết lại đa thức đã ch0 thành $f(x)=(x-b_1)(x-b_2).....(x-b_{2013})$
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$(x_0+1-b_1)(x_0+1-b_2)....(x_0+1-b_{2013})\left(\frac{1}{x_0-b_1}+...+\frac{1}{x_0-b_{2013}}\right) \ge 2$$
Đặt $x_0-b_i=x_i> 0$. Bất đẳng thức trên trở thành:
$$(x_1+1)(x_2+1)....(x_{2013}+1)\left(\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_{2013}}\right) \ge 2$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_{2013}}\geq \frac{2013}{\sqrt[2013]{x_1x_2...x_{2013}}}$$
$$x_1+2012.\frac{1}{2012}\geq 2013.\sqrt[2013]{\frac{x_1}{2012^{2012}}}$$
Tương tự và nhân lại, ta cần chứng minh:
$$2013^{2013}\geq 2.2012^{2011}$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng và nó quá yếu (Chế bđt là 1 nét đẹp văn hóa, nhưng chế $n\to 2013$ lại là 1 thảm họa).
Kết thúc chứng minh, đẳng thức không xảy ra $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-02-2013 - 17:32