(Phạm Quang Toàn)
Tìm $a,b,c$ nguyên tố thoả mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>300$
Bắt đầu bởi Zaraki, 11-03-2013 - 19:37
pqt number theory
#1
Đã gửi 11-03-2013 - 19:37
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
PP. Tìm $a,b,c$ nguyên tố thoả mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>300$ với $a+b+c=10,abc=30$.
- Yagami Raito và Oral1020 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 11-03-2013 - 19:58
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Trước hết,ta có $abc=30$ mà do chỉ có thể bằng $2.3.5$ mà $2+3+5 = 10$ chỉ có bộ số $(2;3;5$ là thỏa mãn $\sum a^2b^2 >300$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 11-03-2013 - 20:02
- Tienanh tx yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#3
Đã gửi 11-03-2013 - 19:58
ilovelife
-
- Thành viên
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
Thấy em để đầu bài hơi lộ vì $30=2.3.5=abc \implies (a,b,c)=(2,3,5)$PP. Tìm $a,b,c$ nguyên tố thoả mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>300$ với $a+b+c=10,abc=30$.
(Phạm Quang Toàn)
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#4
Đã gửi 11-03-2013 - 19:59
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Và $2+3+5 \neq 10$ nữa anhThấy em để đầu bài hơi lộ vì $30=2.3.5=abc \implies (a,b,c)=(2,3,5)$
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#5
Đã gửi 11-03-2013 - 20:00
ilovelife
-
- Thành viên
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
Đầu bài là $a + b + c =10$ mà $2 + 3+ 5 = 5+5=10$ còn gìVà $2+3+5 \neq 10$ nữa anh
- Oral1020 yêu thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#6
Đã gửi 11-03-2013 - 20:01
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Thôi thì mọi người làm bài khác vậy: $(a+b)(b+c)(c+a) >abc(a+b+c-1)$ với $a,b,c$ nguyên tố. 
- Yagami Raito, Oral1020, DarkBlood và 1 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#7
Đã gửi 11-03-2013 - 21:01
DarkBlood
-
- Thành viên
-
- 619 Bài viết
Thiếu úy
Ta có:Thôi thì mọi người làm bài khác vậy: $(a+b)(b+c)(c+a) >abc(a+b+c-1)$ với $a,b,c$ nguyên tố.
$BPT\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac-abc)>0$
Vì $a+b+c>0$ $($Do $a,\ b,\ c$ là số nguyên tố$)$ Nên $ab+bc+ca-abc>0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca>abc$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 2$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}\leq \frac{1}{2}$
Ta có:
$1<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}$
$\Leftrightarrow c<3$
Mà $c$ là số nguyên tố nên $c=2$
Thay vào $(1),$ ta có:
$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq \frac{2}{b}$
$\Leftrightarrow b<4$
$\Rightarrow b\in \left \{ 2;\ 3 \right \}$
TH1: $b=2$
$(2)\Leftrightarrow \frac{1}{a}>0$ $($Đúng với mọi số nguyên tố $a)$
TH2: $b=3$
$(2)\Leftrightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{6}$
$\Leftrightarrow a<6$
$\Rightarrow a\in\left \{ 2;\ 3;\ 5 \right \}$
Vậy $\boxed{(a;\ b;\ c)=(k;\ 2;\ 2),\ (2;\ 3;\ 2),\ (3;\ 3;\ 2),\ (5;\ 3;\ 2)}$ $(k$ là số nguyên tố$)$ và các hoán vị.
- Zaraki và Tienanh tx thích
#8
Đã gửi 12-03-2013 - 13:11
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Ý tưởng đúng rồi, thực chất bài trên mình xuất phát từ: $ab+bc+ca>abc$
Tìm $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ sao cho
(a) $ab+bc+ca+1> 3abc$
(b) $ab+bc+ca+1$ chia hết cho $abc$.
(c) $b|a+1, \; c|b+1, \; a|c+1$
(d) $c|ab+1, \; b|ac+1, \; a|bc+1$.
P/s: Mỗi cái là một câu riêng biệt nhé
Tìm $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ sao cho
(a) $ab+bc+ca+1> 3abc$
(b) $ab+bc+ca+1$ chia hết cho $abc$.
(c) $b|a+1, \; c|b+1, \; a|c+1$
(d) $c|ab+1, \; b|ac+1, \; a|bc+1$.
P/s: Mỗi cái là một câu riêng biệt nhé
- Yagami Raito và DarkBlood thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pqt, number theory
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Mathematics in English →
Prove that we always can find positive integer $m$ such thatBắt đầu bởi Ego, 18-04-2016  number theory
|
|
|
|
|
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Mathematics in English →
Find all $a_1,a_2,a_3$ such that $a_n$ is square of integer for all $n\in \mathbb{Z}^+$Bắt đầu bởi ThEdArKlOrD, 15-04-2016 number theory, sequence
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\gcd (n,1)+ \gcd (n,2)+ \cdots + \gcd (n,n) = 3n-3.$Bắt đầu bởi Zaraki, 08-02-2016 number theory, số học, gcd
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$p^3-q^5=(p+q)^2$Bắt đầu bởi Belphegor Varia, 23-08-2015 number theory
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\tau (n^2)=k\tau (n)$Bắt đầu bởi Belphegor Varia, 16-08-2015 number theory
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
