Chủ đề này có 1 trả lời

[chimsebanmai]

Cho a,b,c >0.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leqslant 3$

[Sagittarius912]

Nhân phá biểu thức trên ra ta dc : $a^{2}c + b^{2}a + c^{2}b \geq a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a .$

Chia cả 2 vế cho abc, Không mất tính TQ giả sử  $a\geq b\geq c$ 

Ta dc $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}$ ( Đúng theo BDT Hoán vị) $\Rightarrow$ ĐPCM

Vai trò không như nhau, khộng giả sử như thế được!!!

 

Cho a,b,c >0.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leqslant 3$

Sử dụng AM-GM

 

$\sqrt{\frac{2a}{a+c}}\le \frac{1}{2}[\frac{4a(a+b+c)}{3(a+b)(a+c)}+\frac{3(a+c)}{2(a+b+c)}]$

Tương tự, cộng lại  ta có

 

$VT \le \frac{2}{3}[\frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{b(a+b+c)}{(a+b)(b+c)}+\frac{c(a+b+c)}{(c+b)(a+c)}]+\frac{3}{4}[\frac{(a+c)+(b+c)+(c+a)}{a+b+c}]$

 

Mặt khác

 $\frac{(a+c)+(b+c)+(c+a)}{a+b+c}=2$

Nên ta cần chứng minh

 

$\frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{b(a+b+c)}{(a+b)(b+c)}+\frac{c(a+b+c)}{(c+b)(a+c)} \le \frac{9}{4}$

 

$\Leftrightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$

 

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc$

Cái này đúng theo AM-GM:

 

$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

 

$ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$