Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , AD giao BC tại M, AB giao CD tại N, AC giao BD tại I. Chứng minh O là trực tâm của tam giác MIN.

[NLT]

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , AD giao BC tại M, AB giao CD tại N, AC giao BD tại I. Chứng minh O là trực tâm của tam giác MIN.

 

:| Đây chỉ là 1 tính chất quen thuộc. Chứng minh bằng cách gọi $H$ là giao điểm thứ $2$ của $(ADI)$ và $(BIC)$, khi đó $MA.MD=MB.MC \to M$ thuộc trục đẳng phương của $(AIHD),(BIHC)$. Không khó để chứng minh các tứ giác $DOHC, AOHB$ nội tiếp, từ đó: \[\angle OHM = \angle DHM-\angle DHO=\angle ADC+\angle ACD - \angle OCD = \angle ADC + \angle OCA = 1 V \to MI \perp ON\]. Tương tự $NI \perp OM \to Q.E.D$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 14-04-2013 - 15:51

[thanhdotk14]

:| Đây chỉ là 1 tính chất quen thuộc. Chứng minh bằng cách gọi $H$ là giao điểm thứ $2$ của $(ADI)$ và $(BIC)$, khi đó $MA.MD=MB.MC \to M$ thuộc trục đẳng phương của $(AIHD),(BIHC)$. Không khó để chứng minh các tứ giác $DOHC, AOHB$ nội tiếp, từ đó: \[\angle OHM = \angle DHM-\angle DHO=\angle ADC+\angle ACD - \angle OCD = \angle ADC + \angle OCA = 1 V \to MI \perp ON\]. Tương tự $NI \perp OM \to Q.E.D$.

Cách khác:(Dùng cực và đối cực)

Gọi $K$, $L$ là giao điểm của $MI$ với $AB,CD$

Khi đó ta dễ dàng chứng minh được $(NKAB)=(NLDC)=-1$ bằng cách dùng định lí Menelaus kết hợp với Ceva trong $\Delta MCD$

Từ đó ta suy ra $ML$ chính là đường đối cực của $N$ đối với $(O)$

Mà theo tính chất đường đối cực thì ta có: $ON\perp MI$

Tương tự ta cũng có:$NI$ là đường đối cực của $M$ đối với $(O)$

$\Rightarrow OM\perp NI$ 

Do đó ta có $O$ chính là trực tâm $\Delta MIN$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 16-04-2013 - 05:40

[NLT]

Cách khác:(Dùng cực và đối cực)

Ảnh chụp màn hình_2013-04-15_230505.png

Gọi $K$, $L$ là giao điểm của $MI$ với $AB,CD$

Khi đó ta dễ dàng chứng minh được $(NKAB)=(NLDC)=-1$ bằng cách dùng định lí Menelaus kết hợp với Ceva trong $\Delta MCD$

Từ đó ta suy ra $ML$ chính là đường đối cực của $N$ đối với $(O)$

Mà theo tính chất đường đối cực thì ta có: $ON\perp MI$

Tương tự ta cũng có:$NI$ là đường đối cực của $M$ đối với $(O)$

$\Rightarrow OM\perp NI$ 

Do đó ta có $O$ chính là trực tâm $\Delta MIN$

 

WTH? Đô học cực đối cực rồi cơ à =..=, thú thế =.= Kết hợp cực đối cực và Pascal có thể chứng minh được điều mới (Pascal thay vì dùng hàng điều hòa + Menelaus)