Cho $\frac{x^{3}+1}{y+1}+\frac{y^{3}+1}{x+1}$ là một số nguyên với $x;y\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $x^{2010}-1\vdots y+1.$
Cho $\frac{x^{3}+1}{y+1}+\frac{y^{3}+1}{x+1}$ là một số nguyên với $x;y\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $x^{2010}-1\vdots y+1.$
Cho $\frac{x^{3}+1}{y+1}+\frac{y^{3}+1}{x+1}$ là một số nguyên với $x;y\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $x^{2010}-1\vdots y+1.$
Đặt $\frac{x^{3}+1}{y+1}=\frac{a}{b},\frac{y^{3}+1}{x+1}=\frac{c}{d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{N}*, (a,b)=1,(c,d)=1$
Ta có $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\in \mathbb{N}*\Rightarrow ad+bc\vdots bd\Rightarrow ad+bc\vdots d\Rightarrow bc\vdots d\Rightarrow b\vdots d$
Mặt khác $ad+bc\vdots b\Rightarrow ad\vdots b\Rightarrow d\vdots b$
Vậy $\left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ d\vdots b \end{matrix}\right.\Rightarrow b=d$
Và $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{x^{3}+1}{y+1}.\frac{y^{3}+1}{x+1}\in \mathbb{N}*$
$\Rightarrow ac\vdots bd\Rightarrow ac\vdots b\Rightarrow c\vdots b$
Vậy $c\vdots d$
Nhưng $(c,d)=1$ nên $d=1$
Do đó $b=d=1$
Có $a=\frac{x^{3}+1}{y+1}\Rightarrow x^{3}+1\vdots y+1$
Lại có $x^{2010}-1\vdots x^{3}+1$
Ta có đpcm
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tài liệu đại số cho Olympic sinh viênStarted by dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, tài liệu and 2 more... |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNStarted by dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, chuyên đề, tài liệu and 3 more... |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $A =\frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}{x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}}$Started by aZO, 15-05-2024 đại số |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^2 + b^2 + 1 = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 đại số, giai thừa |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
CMR: $\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$Started by Duc3290, 01-05-2024 biến đổi đại số, phân thức and 1 more... |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users