Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $\frac{x^{3}+1}{y+1}+\frac{y^{3}+1}{x+1}$ là một số nguyên với $x;y\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $x^{2010}-1\vdots y+1.$

 

 

 

[banhgaongonngon]

Cho $\frac{x^{3}+1}{y+1}+\frac{y^{3}+1}{x+1}$ là một số nguyên với $x;y\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $x^{2010}-1\vdots y+1.$

 

Đặt $\frac{x^{3}+1}{y+1}=\frac{a}{b},\frac{y^{3}+1}{x+1}=\frac{c}{d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{N}*, (a,b)=1,(c,d)=1$

Ta có $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\in \mathbb{N}*\Rightarrow ad+bc\vdots bd\Rightarrow ad+bc\vdots d\Rightarrow bc\vdots d\Rightarrow b\vdots d$

Mặt khác $ad+bc\vdots b\Rightarrow ad\vdots b\Rightarrow d\vdots b$

Vậy $\left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ d\vdots b \end{matrix}\right.\Rightarrow b=d$

Và $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{x^{3}+1}{y+1}.\frac{y^{3}+1}{x+1}\in \mathbb{N}*$

$\Rightarrow ac\vdots bd\Rightarrow ac\vdots b\Rightarrow c\vdots b$

Vậy $c\vdots d$

Nhưng $(c,d)=1$ nên $d=1$

 

Do đó $b=d=1$

Có $a=\frac{x^{3}+1}{y+1}\Rightarrow x^{3}+1\vdots y+1$

 

Lại có $x^{2010}-1\vdots x^{3}+1$

Ta có đpcm