Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Chứng minh: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{1993}{1994}< \frac{2}{109}.$

 

 

 

 

[DarkBlood]

Chứng minh: $A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{1993}{1994}< \frac{2}{109}.$

Với mọi số tự nhiên $n$ ta luôn có: $\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star)$          

Thật vậy, ta có: 

$\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$

 

$\Leftrightarrow n(n+2)<(n+1)^2$

 

$\Leftrightarrow 0<1$ $($Bất đẳng thức đúng$)$

 

Áp dụng bất đẳng thức $(\star),$ ta có:

 

$A<\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdot \cdot \frac{1994}{1995}$

 

$\Rightarrow A^2<\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdot \cdot \frac{1994}{1995}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdot \cdot \frac{1993}{1994}$

 

$\Rightarrow A^2<\frac{3}{4\ .\ 1995}=\frac{1}{2660}$

 

$\Rightarrow A<\frac{1}{2\sqrt{665}}=\frac{2}{4\sqrt{665}}<\frac{2}{109}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 13-05-2013 - 10:55