Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x+y)=f(x)+f(y)+1$

100 bài hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 20-05-2013 - 06:21

Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 20-05-2013 - 06:23

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 20-05-2013 - 10:01

Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$

Ta có lời giải như sau:

Thay x bởi 2x vào 1) ta có $f(2x)=2xf(\frac{1}{2x})$.

Thay x=y vào 2) ta được $f(2x)=2f(x)+1\Leftrightarrow 2xf(\frac{1}{2x})=2f(x)+1$.

Thay x,y bởi 1/2x ta được $f(\frac{1}{x})=2f(\frac{1}{2x})+1\Leftrightarrow \frac{1}{x}f(x)=2f(\frac{1}{2x})+1$.

Như vậy ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} 2f(x)-2xf(\frac{1}{2x})=-1\\\frac{1}{x}f(x)-2f(\frac{1}{2x})=1 \end{matrix}\right.$.

Nhân 2 vế phương trình sau với x rồi lấy phương trình đầu trừ cho phương trình sau theo vế ta được f(x)=-x-1. Thử lại thấy thoả.

Kết luận:f(x)=-x-1. :luoi:  :icon6: (có jì sai nhớ nói jùm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 20-05-2013 - 10:02

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 20-05-2013 - 14:23

Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$

Từ $(2)$ thay $x,y$ bằng $\dfrac{1}{2x}$ kết hợp với $(1)$ có:

$f\left ( \dfrac{1}{x} \right )=2f\left ( \dfrac{1}{2x} \right )+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}f(x)=2 \cdot \dfrac{1}{2x}f(2x)+1$

$\Leftrightarrow f(x)=f(2x)+x\Leftrightarrow f(x)=2f(x)+1+x\Leftrightarrow f(x)=-x-1$

Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=-x-1$ :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 20-05-2013 - 14:24

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100 bài hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh