em làm thế này được không anh Nam:
$\boxed{\text{Solution}}$
- $(f(x))^{2}=f(x+y)f(x-y)$ <=> $(f(x))^{4}=f(x+y)^{2}.f(x-y)^{2}=f(x+2y).f(x).f(x).f(x-2y)=f(x+2y).f(x-2y).(f(x))^{2}$ (1)
* Nếu $f(x)=0$ thì thỏa
* Nếu $f(x)\neq 0$ thì (1)<=> $(f(x))^{2}=f(x+2y).f(x-2y)$
Cùng với pt ban đầu ta suy ra: $f(x+y).f(x-y)=f(x+2y).f(x-2y)$
- Tương tự như thế ta sẽ được:
$f(x+y).f(x-y)=f(x+2y).f(x-2y)=f(x+3y).f(x-3y)=...=f(x+ny).f(x-ny)=c$
c=const
Cho $y=0$ => $(f(x))^{2}=c$ <=> $f(x)=\pm c$
* Thử lại thỏa mãn
p/s: hình như hơi khác đáp số với bạn idexx
Phương trình (1) của bạn không cần thiết. Có thể thay $y$ bởi $2y$ vào ngay phương trình ban đầu để có
$$f(x)^2 = f(x+2y)\cdot f(x-2y)$$
Vì phương trình đúng với mọi $x,y$ nên thay $y$ bởi $2y$ nó vẫn đúng.
Bạn suy luận $f(x)^2$ là hằng số là không ổn. Vì bạn cho $ny$ thay đổi, nhưng $x$ vẫn giữ nguyên, nên "hằng số" của bạn phụ thuộc vào $x$.
Hiển nhiên bạn có thể kiểm tra hàm số của idexx đưa ra thỏa mãn phương trình.
Bạn có thể làm như sau cho đơn giản hơn chút.
Bước 1, lập luận rằng nếu $f=0$ tại 1 giá trị nào đó thì $f=0$ tại mọi nơi nên ta có $f=0$.
Bước 2, nếu $f$ khác $0$ tại mọi nơi thì $f>0$ hoặc $f<0$. Lấy $g=\ln f$ thì $g$ thỏa mãn
$$2g(x) = g(x+y) + g(x-y)$$
Hoặc
$$g\left(\frac{u+v}{2}\right) = \frac{g(u)+g(v)}{2}$$
Vậy, hàm liên tục $g$ vừa lồi vừa lõm nên phải là hàm bậc nhất: $g(x) = ax +b$ (hoặc hằng số, trong trường hợp $a=0$).
Cuối cùng $f(x) = e^{g(x)} = A e^{ax}$ với $A = e^b$.