banhgaongonngon

KÌ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI

CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2015

 

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

 

Ngày thi thứ nhất: 22/10/2014

 

Câu 1

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}y+\sqrt{x}=3\\ 2x^{2}y\left ( 1+\sqrt{4y^{2}+1} \right )=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

 

Câu 2

Tìm tất cả các hàm $f:\left ( 0,\propto \right )\rightarrow \left ( 0,\propto \right )$ thỏa mãn

$x^{2}\left ( f(x)+f(y) \right )=\left ( x+y \right )f\left ( y f\left ( x \right ) \right )\forall x,y\in \left ( 0,\propto \right )$

 

Câu 3

Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng qua $P$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CA$ theo thứ tự tại $I,G,K$. Chứng minh rằng $I,G,K$ thẳng hàng

 

Câu 4

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình

$3^{x-1}+1=2^{y}$

 

Câu 5

Trong mặt phẳng cho $2015$ điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2015}$

Chứng minh rằng, trên bất kì đường tròn có bán kính bằng $1$ ta luôn tìm được điểm $M$ thỏa mãn tính chất

$MA_{1}+MA_{2}+...+MA_{2015}\geq 2015$

 

Ngày thi thứ hai: 23/10/2014

 

Câu 1

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn

$3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}$

 

Câu 2

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi: $ln\left ( 1+x_{n}^{2} \right )+nx_{n}=1$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Tìm giới hạn $\lim \frac{n\left ( 1-nx_{n} \right )}{x_{n}}$

 

Câu 3

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $P$. Từ $P$ vẽ hai tiếp tuyến $PC,PD$ lần lượt tới $(O)$ và $(O')$ ($C,D$ là tiếp điểm). Vẽ tiếp tuyến chung $MN$ của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ với $M\in \left ( O \right )$ và $N \in \left ( O' \right )$.

Chứng minh ba đường thẳng $AB,CM,DN$ đồng quy

 

Câu 4

Trong một giải thi đấu thể thao vòng tròn một lượt có $n$ vận động viên $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $\left ( n>1 \right )$ tham gia. Mỗi vận động viên thi đấu với tất cả vận động viên còn lại theo nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt $W_{k}$ và $L_{k}$ là số trận thắng và số trận thua tướng ứng của vận động viên $A_{k}$ với $k=\overline{1;n}$

Chứng minh rằng

$\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n}L_{k}^{2}$

Cho $m$ là số nguyên dương

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f\left ( x^{m}+f(y) \right )=f^{m}\left ( x \right )\forall x,y\in \mathbb{R}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$

 

Chứng minh rằng

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Cho $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ và $n$ số a_{i} thỏa mãn 

$\left\{\begin{matrix} a_{i}\geq 0,\forall i=\overline{1,n}\\ \sum_{i=1}^{n}a_{i}=n \\ \prod_{i=1}^{n}a_{i}<1 \end{matrix}\right.$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}-n}{1-\prod_{i=1}^{n}a_{i}}$

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng

 

$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$