kvthanh

Bạn có thể dùng WinTpic, xem ở đây: http://mathblog.org/...-bang-hinh-anh/

Để giải các bài tập dạng tìm ĐK của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ ĐB hoặc NB trên tập $D$ nào đó ($D$ ở đây là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng) ta có thể dựa vào kết quả sau:
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên miền $D$ và đạt GTLN, GTNN trên $D$ tương ứng là $\max_Df(x),\min_Df(x)$. Khi đó
1) $f(x)\geq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \min_Df(x)\geq m$
2) $f(x)\leq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \max_Df(x)\leq m$
Áp dụng vào các bài toán trên, thông thường ta hay biến đổi cô lập $m$ về một vế, chẳng hạn trong Ví dụ 1 ở trên, $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)\Leftrightarrow f'(x)\leq 0$ với mọi $x\in (0;2)$
Tương đương với $x^2+x\leq -m$ với mọi $x\in (0;2)\Leftrightarrow \max_{[0;2]}(x^2+x)\leq -m\Leftrightarrow 6\leq -m\Leftrightarrow m\leq -6$.

Thấy bài này giống bài mình đã đăng trên blog của minh nên góp thêm mấy bài tập dạng này nữa.

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) $ \tan x>x$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$;
b) $ \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$.

Lời giải
a) $ \tan x>x$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $ f(x)=\tan x-x$ trên $ ([0;\pi/2)$
$ f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x\geq 0$ với mọi $ x\in [0;\pi/2)$
Suy ra hàm số $ f(x)$ ĐB trên $ [0;\pi/2)$. Do đó $ f(x)>f(0)=0$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$ (ĐPCM)

b) $ \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $ f(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}$ trên $ [0;\pi/2)$
$ f'(x)=(\tan x+x)(\tan x-x)\geq 0$ với mọi $ x\in [0;\pi/2)$ (theo 1.)
Suy ra $ f(x)$ ĐB trên $ [0;\pi/2)$
Do đó $ f(x)>f(0)=0$ trên $ [0;\pi/2)$ (đpcm)

Bài tập thêm

3. Chứng minh các BĐT:
a) $ \sin x<x, \forall x>0$
b) $ \sin x>x,\forall x<0$
c) $ \sin x+\tan x>2x,\forall x\in(0;\pi/2)$

Bạn giải hộ mình với! sửa lại đề:
Có Cực đại-Cực tiểu có hành độ thuộc khoảng (-2;3)

$y'=0\Leftrightarrow (x+1)(x+m-2)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=2-m$.
Vậy hàm số có CĐ, CT thuộc $(-2;3)\Leftrightarrow -2<2-m<3$ và $2-m\neq -1\Leftrightarrow -1<m\neq 3<4$.
$y'$ ở đây là tam thức bậc 2 có thể phân tích thành nhân tử nên có thể giải như trên. Trong TH tổng quát hơn, bài toán này thực chất là dạng bài toán so sánh các nghiệm của tam thức bậc 2 với hai số thực. Chương trình cũ thời mình học cấp 3 có dạy về định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai có nói đến vấn đề này. Nếu đem cái này ra áp dụng thì lời giải rất gọn nhưng tiếc là bây giờ ko có (một số tài liệu cũ vẫn hướng dẫn giải kiểu này).
Ta giải theo cách khác vậy,
Cách 1. Cô lập $m$, từ pt $y'=0$ ta được $g(x)=A(m)$ (nếu có thể cô lập được)
Lập BBT của hàm số $g(x)$ trên khoảng (-2;3) từ đó suy ra kết quả.
Cách 2. Chuyển bài toán về so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số $0$ bằng cách đặt ẩn phụ $t=x+2$ và $t=x-3$. Sau đó lấy giao của hai kết quả trong hai bước này (Bạn có thể tham khảo chi tiết tại đây)

Xin phép mod dành topic này để làm quen với thầy Thanh
____________
Chào thầy Thanh, em là Bùi Thế Việt, lớp 9, Thái Bình. Rất vui được làm quen với thầy...
Thầy cho em hỏi là Toán -Tin khác Toán-Toán ở chỗ nào ạ !
Em sắp thi cấp 3 nhưng không biết chọn chỗ

Mình nghĩ họ gọi Toán-Tin là chú ý nhiều đến những nc toán học ứng dụng vào tin học, như bên KHTN Hà Nội có ngành Đảm bảo toán, Toán học tính toán. Còn họ gọi Toán-Toán là chú ý những nc toán học thuần túy không chú trọng áp dụng vào vấn đề cụ thể là Tin học.
Nếu bạn định đi theo con đường nc toán thì mình nghĩ bạn có thể thi vào Khối chuyên ĐHKHTN Hà Nội