kvthanh

Bạn có thể dùng WinTpic, xem ở đây: http://mathblog.org/...-bang-hinh-anh/

Để giải các bài tập dạng tìm ĐK của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ ĐB hoặc NB trên tập $D$ nào đó ($D$ ở đây là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng) ta có thể dựa vào kết quả sau:
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên miền $D$ và đạt GTLN, GTNN trên $D$ tương ứng là $\max_Df(x),\min_Df(x)$. Khi đó
1) $f(x)\geq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \min_Df(x)\geq m$
2) $f(x)\leq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \max_Df(x)\leq m$
Áp dụng vào các bài toán trên, thông thường ta hay biến đổi cô lập $m$ về một vế, chẳng hạn trong Ví dụ 1 ở trên, $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)\Leftrightarrow f'(x)\leq 0$ với mọi $x\in (0;2)$
Tương đương với $x^2+x\leq -m$ với mọi $x\in (0;2)\Leftrightarrow \max_{[0;2]}(x^2+x)\leq -m\Leftrightarrow 6\leq -m\Leftrightarrow m\leq -6$.

Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\begin{cases}
x^2+y^2-2x\leq 2&\\
x-y+a=0&
\end{cases}.$

Thấy bài này giống bài mình đã đăng trên blog của minh nên góp thêm mấy bài tập dạng này nữa.

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) $ \tan x>x$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$;
b) $ \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$.

Lời giải
a) $ \tan x>x$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $ f(x)=\tan x-x$ trên $ ([0;\pi/2)$
$ f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x\geq 0$ với mọi $ x\in [0;\pi/2)$
Suy ra hàm số $ f(x)$ ĐB trên $ [0;\pi/2)$. Do đó $ f(x)>f(0)=0$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$ (ĐPCM)

b) $ \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $ f(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}$ trên $ [0;\pi/2)$
$ f'(x)=(\tan x+x)(\tan x-x)\geq 0$ với mọi $ x\in [0;\pi/2)$ (theo 1.)
Suy ra $ f(x)$ ĐB trên $ [0;\pi/2)$
Do đó $ f(x)>f(0)=0$ trên $ [0;\pi/2)$ (đpcm)

Bài tập thêm

3. Chứng minh các BĐT:
a) $ \sin x<x, \forall x>0$
b) $ \sin x>x,\forall x<0$
c) $ \sin x+\tan x>2x,\forall x\in(0;\pi/2)$

Xin phép mod dành topic này để làm quen với thầy Thanh
____________
Chào thầy Thanh, em là Bùi Thế Việt, lớp 9, Thái Bình. Rất vui được làm quen với thầy...
Thầy cho em hỏi là Toán -Tin khác Toán-Toán ở chỗ nào ạ !
Em sắp thi cấp 3 nhưng không biết chọn chỗ

Mình nghĩ họ gọi Toán-Tin là chú ý nhiều đến những nc toán học ứng dụng vào tin học, như bên KHTN Hà Nội có ngành Đảm bảo toán, Toán học tính toán. Còn họ gọi Toán-Toán là chú ý những nc toán học thuần túy không chú trọng áp dụng vào vấn đề cụ thể là Tin học.
Nếu bạn định đi theo con đường nc toán thì mình nghĩ bạn có thể thi vào Khối chuyên ĐHKHTN Hà Nội

Chào thầy kvthanh (mạn phép xin hỏi tên thầy là gì được không ạ, thầy có thể trả lời ở dưới)
Cách của em như sau:
Ta có:
$$3^{3x} + 2m3^{2x} + m^2 3^x + m - 1 = 0$$
Đặt $t=3^{3x}>0$
Từ giả thiết ta có:
$$t^3+2mt^2+m^2t+m-1=0$$
$$\Leftrightarrow (t+m-1)(t^2+t(m+1)+1)=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
t+m-1=0 \; \; \; \;(1)\\
t^2+t(m+1)+1=0 \;\;\;\;(2)
\end{bmatrix}$$
PT ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất một trong hai $PT(1)$ và $PT(2)$ có nghiệm và nghiệm này lớn hơn 0
Xét $PT(1)$ luôn có nghiệm $t=1-m$ nên để $t>0$ thì $m<1$
Xét $PT(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta _t \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 1$ hoặc $m \leq -3$
+Nếu $\Delta=0$ thì $m=3$ mới thỏa mãn $t>0$
+Nếu $\Delta >0$ thì $PT(2)$ có 2 nghiệm phân biệt
Để $PT(2)$ có nghiệm lớn hơn 0 tương đương với $PT(2)$ có hai nghiệm trái dấu hoặc hai nghiệm cùng dương
hay $m<-1$
Vậy $m<1$ hoặc $m=3$ thì thỏa mãn đề bài

Rất hay, PT bậc 3 này có thể phân tích thành dạng tích, tức nhẩm được 1 nghiệm thì giải theo cách này là đơn giản nhất.
Mình tên Khuất Văn Thanh

Cách giải của bạn rất hay. Nhưng có đôi chút ở chỗ xét trường hợp. Vì trong không gian khi cho tọa độ hai đường thẳng thì mình có thể biết được hai đường thẳng đó có đồng phẳng hay không. Không phải xét trường hợp nữa

Xét hai TH ở đây không nằm trong lời giải bài toán này mà chỉ là phân tích trong TH tổng quát xem có bao nhiêu khả năng. Khi gặp bài toán cụ thể bạn có thể xét xem rơi vào TH nào để chọn cách giải theo TH đó.
Tuy nhiên cách giải ở trên áp dụng được trong cả hai TH, do đó khi gặp bài toán dạng này bạn có thể giải theo cách trên mà không cần quan tâm đến bài toán rơi vào TH nào.

Bài viết này mathblog.org giới thiệu về một dạng toán hay gặp trong các kỳ thi đại học: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Thông thường, với các dạng bài tập này, ta cần cô lập tham số sang một vế của phương trình, tức là đưa PT về dạng $ f(x)=A(m)$. Khi đó nghiệm của PT trên chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $ y=f(x)$ với đường thẳng $ y=A(m)$, ở đây $ A(m)$ là biểu thức chứa tham số $ m$. Trước khi đưa ra một số ví dụ, ta nhắc lại một số kết quả cơ bản về phép biến đổi đồ thị. Giả sử hàm số $ y=f(x)$ có đồ thị $ ©$. Từ đồ thị $ ©$ ta có thể suy ra đồ thị của một số hàm số sau:
1) Hàm số $ y=-f(x)$ có đồ thị là $ (C_1)$.
$ (C_1)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Lấy đối xứng đồ thị $ ©$ qua trục hoành.
2) Hàm số $ y=|f(x)|$ có đồ thị là $ (C_2)$.
$ (C_2)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của $ ©$ qua trục hoành.
3) Hàm số $ y=f(|x|)$ có đồ thị là $ (C_3)$.
$ (C_3)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải này qua trục tung.
4) Hàm số $ y=|f(|x|)|$ có đồ thị là $ (C_4)$.
$ (C_4)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Thực hiện hai bước, lần lượt lấy $ (C_3)$ rồi $ (C_2)$.
5) Hàm số $ y=|u(x)|v(x)$ hoặc $ y=\frac{u(x)}{|v(x)|}$ có đồ thị là $ (C_5)$.
$ (C_5)$ được suy ra từ đồ thị $ y=u(x)v(x)$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị của
$ y=u(x)v(x)$ trong miền $ u(x)>0$ (hoặc tương ứng, $ v(x)>0$) và lấy đối xứng phần còn lại qua trục hoành.

Ví dụ 1.

- Đồ thị hàm số $ y=x^3-3x^2+2$

- Đồ thị hàm số $ y=-(x^3-3x^2+2)$

- Đồ thị hàm số $ y=|x^3-3x^2+2|$

- Đồ thị hàm số $ y=|x|^3-3x^2+2$

- Đồ thị hàm số $ y=||x|^3-3x^2+2|$

- Đồ thị hàm số $ y=|x-1|(x^2-2x^2-2)$

Ví dụ 2. (A06).

1. Khảo sát SBT và vẽ ĐT hàm số $ y=2x^3-9x^2+12x-4$.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm thực phân biệt $ 2|x|^3-9x^2+12|x|=m$. (1)

Hướng dẫn.

1. Phần khảo sát (bạn đọc tự làm)
Đồ thị
2.
Đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ có dạng
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow 2|x|^3-9x^2+12|x|-4=m-4$.
Số nghiệm của PT (1) bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ và đường thẳng $ y=m-1$. Từ đồ thị, suy ra PT (1) có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $ 0<m-4<1\Leftrightarrow 4<m<5$.

Các bài tập đề nghị:

Bài 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $ \frac{(x-1)^2}{|x-2|}=m$.
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=x^3-3x^2+2$.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình $ x^2-2x-2=\frac{k}{|x-1|}$.
Nguồn: http://mathblog.org

Bài toán 1:
Cho hai điểm $ A(1;1;0),B(3;-1;4)$ và đường thẳng
$ d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}$
Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Đây là một trong số các bài toán cực trị hình học thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian mà mathblog.org sẽ lần lượt giới thiệu.
Trước khi giải chi tiết Bài toán 1, chúng ta xét bài toán tổng quát: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A,B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Để giải Bài toán tổng quát trên, ta xét các trường hợp sau:
TH1: Đường thẳng AB và d đồng phẳng.
Trong TH1 lại xét hai khả năng:
KN1: A,B nằm khác phía đối với d.

Khi đó $ MA+MB\geq AB$ nên $ MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ M,A,B$ thẳng hàng. Suy ra $ M=AB\cap d$.
KN2: A,B nằm về cùng phía đối với d.

Khi đó gọi A' là điểm đối xứng với A qua d. Ta có $ MA+MB=MA'+MB\geq A'B$. Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M,A',B thẳng hàng. Suy ra $ M=A'B\cap d$.
TH2. Đường thẳng AB và d không đồng phẳng.

Ta sẽ tiến hành giải Bài toán 2 luôn vì nó rơi vào TH này, sau đó sẽ rút ra phương pháp chung.
Giả sử $ M\in d\Rightarrow M(-1+t;1-t;-2+2t)$.
$ MA=\sqrt{(t-2)^2+(-t)^2+(2t-2)^2}=\sqrt{6t^2-12t+8}$
$ MB=\sqrt{6t^2-36t+56}$
Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số
$ f(t)=\sqrt{6t^2-12t+8}+\sqrt{6t^2-36t+56}$
Ta viết $ f(t)=\sqrt{(\sqrt{6}t-\sqrt{6})^2+2}+\sqrt{(\sqrt{6}t-3\sqrt{6})^2+2}$
Đặt $ \overrightarrow{u}=(\sqrt{6}t-\sqrt{6};\sqrt{2})$
$ \overrightarrow{v}=(-\sqrt{6}t+3\sqrt{6};\sqrt{2})$
Khi đó ta có $ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
Suy ra $ f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vecto $ \overrightarrow{u}$ và $ \overrightarrow{v}$ cùng hướng hay $ \dfrac{\sqrt{6}t-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}t+3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0$
Tương đương t=2.
Vậy M(1;-1;2).
Bình luận: Trong cách giải trên ta sử dụng BĐT hình học
$ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
và mấu chốt để cách giải này luôn thực hiện được là do hệ số của $ t^2$ trong hai biểu thức dưới căn luôn bằng nhau.
Chú ý khác là mọi tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c$ không âm trên $ \mathbb{R}$ luôn viết được dưới dạng $ f(x)=(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$.
Bài tập thêm
Cho đường thẳng $ d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ và hai điểm A(0;1;2), B(-1;2;3).
Tìm M thuộc d sao cho
1. $ MA^2+MB^2$ nhỏ nhất.
2. $ MA+MB$ nhỏ nhất.
3. $ |2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
4. $ |2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
Nguồn: http://mathblog.org

http://mathblog.org- webblog toán THPT rất cơ bản, dành cho học sinh TB, Khá

Nhóm của bọn mình ở trường đang thực hiện một chuyên đề và phải thuyết trình trước các thầy nhưng mình soạn chuyên đề này bằng Latex - Texmaker thì không biết có trình chiếu được như Power Point không?? Mong mọi người cho ý kiến
Thanks

Bạn có thể tham khảo mẫu trình chiếu LaTeX chuyên nghiệp tại đậy: http://mathblog.org/...luan-van-latex/

Nhân dịp mới ra nhập diễn đàn xin tặng các bạn bộ giáo trình GTM với gần 200 đầu sách và còn hàng ngàn cuốn khác sẽ xin chia sẻ sau:
Gtm 151 - Silverman J H - Advanced Topics In The Arithmetic Of Elliptic Curves (Springer)(268S).djvu
http://www.box.net/shared/ojlxr4rspi
GTM 153 - Fulton - Algebraic Topology. A first course (Springer 1995).djvu
http://www.box.net/shared/45rabppmyd
GTM 171 - Petersen - Riemannian Geometry - Springer).djvu
http://www.box.net/shared/p3qsgjqn1p
Gtm 176 - Lee J M - Riemannian Manifolds An Introduction To Curvature (Springer,1997)(Isbn 038798271X)(232S).djvu
http://www.box.net/shared/5dpdb4gu8x
GTM 191 - Lang S. - Fundamentals of Differential Geometry - Springer 1999.djvu
http://www.box.net/shared/vxgrlir9z2
Gtm-052 Hartshorne Algebraic Geometry.djvu
http://www.box.net/shared/11fx6p61qn
Harris J., I.Morrison. Moduli of Curves (GTM 187, Springer,1998)(ISBN 0387984380)(381s)_MAg_.pdf
http://www.box.net/shared/27oixu9ysb
Harris J., Morrison I. Moduli of curves (GTM 187, Springer, 1998)(ISBN 0387984380)(381s)_MAg_.pdf
http://www.box.net/shared/935cq8e0p9
hartnotes.dvi
http://www.box.net/shared/2b4aigcrpf
hartnotes.tex
http://www.box.net/shared/34cb1hl835
Hartshorne - Algebraic Geometry (Gtm 52).pdf
http://www.box.net/shared/oz0vazkaff
hartsoln1.dvi
http://www.box.net/shared/d7vxia1ohn
hartsoln2.dvi
http://www.box.net/shared/es8iumtk85
hartsoln3.dvi
http://www.box.net/shared/z2zkbi5qvg
hartsoln4.dvi
http://www.box.net/shared/e036u3kygp
hartsoln5.dvi
http://www.box.net/shared/dzxfkdj8ej
Husemoeller, D. - Elliptic Curves (2nd ed., Springer, GTM 111, 2004) (510p).pdf
http://www.box.net/shared/siqrbg0pzp
Introduction to elliptic curves and modular forms (GTM 97 Springer 1984).djvu
http://www.box.net/shared/dc2m9cz83s
Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms(GTM 97).djvu
http://www.box.net/shared/ca13im5rof
Katz, Mazur - Arithmetic Moduli of Elliptic Curves (PUP 1985).djvu
http://www.box.net/shared/tvlroroctq
Katz, N - P-Adic L-Functions Via Moduli Of Elliptic Curves (Proc Symp Pure Math 29, 1975).djvu
http://www.box.net/shared/gknxrm8uy3
Kauffman L.H. - Knot Theory Notes - Detecting Links with the Jones Polynomial.pdf
http://www.box.net/shared/22g9183hez
Kaufman - Efficient Algorithms For 3D Scan-Conversion Of Parametric Curves, Surfaces, And Volumes.pdf
http://www.box.net/shared/nudg0aa03h
Kazdan J., Applications of PDE to Problems in Geometry (book draft, 2004)(169s).pdf
http://www.box.net/shared/5big9x53kv
Kirwan F. Complex algebraic curves (LMSST 23, CUP, 1992)(ISBN 052141251X)(L)(T)(136s).djvu
http://www.box.net/shared/h13oadoz6b
Koblitz N Introduction To Elliptic Curves And Modular Forms (Gtm 97, Springer, 1984)(L)(Isbn 0387960295)(128s).djvu
http://www.box.net/shared/y0cxzq6ks4
Koblitz, N - Introduction to elliptic curves and modular forms (GTM 97 Springer 1984).pdf
http://www.box.net/shared/sr3fitbmq9
Kraft - Challenging Problems In Affine N-Space - Seminaire Bourbaki 802 (1994-5).pdf
http://www.box.net/shared/kqg759l8hg
K_theory_and_C_algebras.djvu
http://www.box.net/shared/8z7bab4iuq
Lakatos - Model theory and diophantine geometry.pdf
http://www.box.net/shared/dgk241668l
Lang - Elliptic Functions (gtm 112 Springer 2nd 1986).djvu
http://www.box.net/shared/kg936c52cd
Lang S. Differential and riemannian manifolds (GTM 160, Springer, 1995)(378s).djvu
http://www.box.net/shared/j1oxefe3q3
Lang, S - Differential and Riemannian Manifolds (GTM 160, Springer 1995).djvu
http://www.box.net/shared/ver0uy8drl
Lang, S - Elliptic Functions (Addison-Wesley 1Ed 1973).djvu
http://www.box.net/shared/trgzcx14rb
Lang, Serre - Sur les revetements non ramifies des varietes algebriques (American J. of Math. 79, 1957).djvu
http://www.box.net/shared/bazn2y6srs
Lang, Weil - Number of points of varieties in finite fields (Amer. J Math 76, 1954).djvu
http://www.box.net/shared/x82dnrd4qx
Lectures on Discrete Geometry(GTM 212).djvu
http://www.box.net/shared/cf5hbyohiy
Lectures_on_Symplectic_Geometry.pdf
http://www.box.net/shared/fien3gzfgy
Lee J.M. Introduction to Topological Manifolds (GTM 202, Springer, 2000)(T)(406s).djvu
http://www.box.net/shared/rbtf63cd6y
Lee J.M. Riemannian Manifolds.. An Introduction to Curvature (GTM, Springer,1997)(ISBN 038798271X)(232s).pdf
http://www.box.net/shared/hxxkyxlu74
Lee J.M. Riemannian Manifolds.. An Introduction to Curvature (GTM, Springer,1997)(ISBN 038798271X)(232s)_MDdg_.pdf
http://www.box.net/shared/uh9bdu5ypk
Lee J.M. Riemannian Manifolds.. An Introduction to Curvature (GTM, Springer,1997)(ISBN 038798271X.pdf
http://www.box.net/shared/3qps7drx66
Lee J.M., Introduction to Topological Manifolds ,Springer 2000 (T)(406s),GTM 202.djvu
http://www.box.net/shared/igsvxvkrs8
Lee, J.M._Introduction to Topological Manifolds (Springer GTM 202, 2000).pdf
http://www.box.net/shared/hsx91sqpyh
Lefschetz. Algebraic topology (AMS, 1942)(T)(396s).djvu
http://www.box.net/shared/bb3xaghxjf
Massey W A Basic Course In Algebraic Topology (Gtm 127, Springer, 1991)(T)(Isbn 038797430X)(444S).djvu
http://www.box.net/shared/bfgxbs3p1b
Milne S C - New infinite families of exact sums of squares formulas, Jacobi elliptic functions, and Ramanujan's tau function - Proc. Natl. Acad. Sci. USA 93 (1996) 15004-15008.pdf
http://www.box.net/shared/qumd4hz7py
Miranda R Algebraic Curves And Riemann Surfaces (Ams, 1995)(T)(399S).djvu
http://www.box.net/shared/ktiovzo84b
modular elliptic curves and Fermat's last theorem.pdf
http://www.box.net/shared/i1b2a2vsbb
Mumford - Lectures On Curves On An Algebraic Surface (Princeton 1966).pdf
http://www.box.net/shared/j60z2rifyb
Mumford, Fogarty, Kirwan - Geometric Invariant Theory (3Ed).djvu
http://www.box.net/shared/07dpoxkifj
Naber - topology, geometry and gauge fields (231s).djvu
http://www.box.net/shared/n9sqp7kg8g
Projective Geometry With Clifford Algebra--Hestenes-91.pdf
http://www.box.net/shared/tgbjcim350
Rubin - P-Adic L-Functions And Rational Points On Elliptic Curves With Cm (Inv Math 107, 1992).djvu
http://www.box.net/shared/cs981c6r3g
Rubin - P-Adic L-Functions And Rational Points On Elliptic Curves With Cm (Inv Math 107, 1992).pdf
http://www.box.net/shared/hsr3tgqhqt
Rubin - p-adic L-functions and rational points on elliptic curves with CM (Inv. Math. 107, 1992).djvu
http://www.box.net/shared/3vt8o3j99a
Sato H. Algebraic topology.. an intuitive approach (AMS, 1999)(124s).djvu
http://www.box.net/shared/u7autpz9s0
Schlichenmaier M. An introduction to Riemann surfaces, algebraic curves and moduli spaces (Springer LNP 322, 1989)(KA)(600dpi)(T)(163s)_MAg_.djvu
http://www.box.net/shared/ebbzpcpqo2
Shafarevich Algebraic Geometry I - Algebraic Curves, Algebraic Manifolds & Schemes.pdf
http://www.box.net/shared/dfabghzvyg
Shafarevich.-.Algebraic.geometry.III.[sharethefiles.com].pdf
http://www.box.net/shared/9exi538qhs
SHIFRIN T. Differential geometry. a first course in curves and surfaces (120s).pdf
http://www.box.net/shared/pe88ov8pft
Silverman J. Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves (GTM 151, Springer, 1994)(L)(ISBN 0387943250)(268s).djvu
http://www.box.net/shared/862tko7cdo
Silverman J. Arithmetic of elliptic curves (Springer GTM 106, 1986)(L)(T)(208s).djvu
[url="http://www.box.net/shared/cef"từ cấm"vpap"]http://www.box.net/shared/cef"từ cấm"vpap[/url]
Silverman J. Arithmetic of elliptic curves (Springer GTM 106, 1986)(L)(T)(ISBN 0387962034)(208s).djvu
http://www.box.net/shared/1iclcrf4ss
Silverman J. The arithmetic of elliptic curves (GTM 106, Springer, 1986)(L)(T)(ISBN 0387962034)(208s).djvu
http://www.box.net/shared/ks3hlb3evjSilverman J., Tate J. Rational points on elliptic curves (Springer UTM, 1992)(600dpi)(T)(296s)_MT_.djvu
http://www.box.net/shared/7p1sxbyexl
Silverman, J - Weierstrass equations and the minimal discriminant of an elliptic curve (Mathematika 31, 1984).djvuhttp://www.box.net/shared/lebf6s120a
Các bạn có thể tìm thêm các cuốn khác trên http://mathblog.org/...in-mathematics/

Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong các nội dung xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng. Từ giờ đến khi thi, mathblog sẽ giới thiệu một số dạng toán liên quan đến nội dung này. Bài giảng này nói về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trước tiên ta nhắc lại các công thức tính góc.
Giả sử $\Delta$ đi qua $M_0$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$,
$\Delta'$ đi qua $M'_0$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}$,
mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$,
mặt phẳng $(Q): A'x+B'y+C'z+D'=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n'}=(A';B';C')$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $\Delta$ và $\Delta'$; $\beta$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$; $\gamma$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$..
Khi đó ta có
$\cos \alpha=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u'}\right|}, \sin\beta=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}$.
$\cos \gamma=\left|\cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n'}\right|}$
Bây giờ xét một số ví dụ.
Ví dụ 1.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $(\alpha): x-y+z-5=0$ và $\Delta: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(3;-1;1)$, nằm trong mp$(\alpha)$ và hợp với $\Delta$ một góc $45^o$.
Lời giải.
Giả sử VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u}=(a;b;c), (a^2+b^2+c^2\neq 0)$.
VTPT của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n}=(1;-1;1)$.
VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;2;2)$.
Do $d\subset (\alpha)$ nên $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$
$\Leftrightarrow a-b+c=0$ (1).
Vì goc giữa $d$ và $\Delta$ là $45^o$ nên $\cos 45^o=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u_{\Delta}})\right|$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left|a+2b+2c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\sqrt{4+4+1}\Leftrightarrow 3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\left|a+2b+2c\right|$ (2)
Thế (1) vào (2) ta có $3\sqrt{2}\sqrt{a^2+(a+c)^2+c^2}=2\left|a+2(a+c)+2c\right|\Leftrightarrow 3\sqrt{a^2+ac+c^2}=\left|3a+4c\right|$
$\Leftrightarrow 15ac+7c^2=0\Leftrightarrow c(15a+7c)=0\Leftrightarrow c=0$ hoặc $15a+7c=0$.
Với $c=0$ chọn $a=b=1$, ta được $d: \begin{cases}
x=3+t&\\
y=-1+t&\\
z=1
\end{cases}$
Với $15a+7c=0$, chọn $a=7,c=-15,b=-8$, ta được $d: \begin{cases}
x=3+7t&\\
y=-1-8t&\\
z=1+15t
\end{cases}$
Nhận xét: Bài toán trên là bài toán có 3 ẩn số phải tìm là $a,b,c$. Ta lập được hệ gồm hai phương trình. Trong trường hợp này thì hệ PT luôn là hệ vô định, tức là có vô số nghiệm. Lý do có vô số nghiệm ở đây (có thể chọn $a,b,c$) là vì nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của $d$ thì $k.\overrightarrow{u},k\neq 0$ cũng là VTCP của $d$.
Khi giải hệ loại này thường dẫn ta đến phương trình vô định thuần nhất bậc hai dạng $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$. Do đó các bạn cần nắm vững cách giải PT này. Cần xét 2 trường hợp: TH1 xét với $y=0$; TH2 xét $y\neq 0$, chia cả hai vế cho $y^2$ được PT bậc 2.
Ví dụ 2.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\Delta: \begin{cases}
x=-t&\\
y=-1+2t&\\
z=2+t
\end{cases}$
và $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$.
Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và tạo với $(\alpha)$ một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Giả sử $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}}=(A;B;C), (A^2+B^2+C^2\neq 0)$.
Ta có VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=(-1;2;1)$.
$(\alpha)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}}=(2;-1;-2)$.
Do $(P)$ chứa $\Delta$ nên $\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{u_{\Delta}}=0\Leftrightarrow -A+2B+C=0$ (1)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $(\alpha)$ và $(P)$ thì ta có $\cos\varphi=\left|\cos(\overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{\alpha}})\right|$
$\Leftrightarrow \cos\varphi=\dfrac{\left|2A-B-2C\right|}{3\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (2)
Thế (1) vào (2) ta có
$(5\cos^2\varphi-1)B^2+4B.C.\cos^2\varphi+2C^2\cos^2\varphi=0$ (*).
Đặt $a=\cos^2\varphi$, ta có
$(5a-1)B^2+4aBC+2aC^2=0$
Với $C=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{5}$ hoặc $B=0\Rightarrow A=0$.
Với $C\neq 0\Rightarrow (5a-1)\left(\dfrac{B}{C}\right)^2+4a\left(\dfrac{B}{C}\right)+2a=0$
PT này có nghiệm $\Delta'=\Leftrightarrow -3a^2+a\geq 0\Leftrightarrow 0\leq a\leq \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \varphi$ nhỏ nhất khi $\cos^2\varphi=\dfrac{1}{3}$, thay vào PT (*) ta tìm được $B=1,C=-1,A=1$.
KL: $(P): x+y-z+3=0$.
Để nắm vững cách giải của dạng này, các bạn nên làm thêm một số bài tập dưới đây.
Bài tập đề nghị
Bài 1.
Cho $\Delta_1$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x-ay-z-1=0$ và $y-2=0$; $\Delta_2$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ax+3y-a-3=0$ và $z-1=0$.
Xác định $a$ để góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $45^o$.
Bài 2.
Cho $\Delta:\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$. Gọi $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là góc hợp bởi $\Delta$ với các trục tọa độ. CMR $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$.
Bài 3.
Cho $d_1$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x+y-2=0$ và $y+z-2=0$; $d_2:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+5}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d_1$ và tạo với $d_2$ một góc $60^o$.

Nguồn: mathblog.org

Tiếp theo bài giảng Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỷ, mathblog.org tiếp tục trình bày với bạn đọc bài giảng về tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

$\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

Cách giải.
Sử dụng tính chất cơ bản $\int\limits_{a}^{b}g(x)dx=\int\limits_{a}^{c}g(x)dx+\int\limits_{c}^{b}g(x)dx$
Cách 1. Xét dấu biểu thức $f(x)$ để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 2. (Không cần xét dấu). Giải phương trình $f(x)=0 $ trên $(a;b)$. Giả sử trên khoảng $(a;b)$ phương trình có nghiệm $a<x_1<\cdots <x_n<b$. Do trên mỗi khoảng $(x_i;x_{i+1})$ biểu thức $f(x)$ luôn mang cùng một dấu nên ta có
$\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx=\int\limits_{a}^{x_1}|f(x)|dx+\int\limits_{x_1}^{x_2}|f(x)|dx+\ldots+\int\limits_{x_n}^{b}|f(x)|dx$
$=\left|\int\limits_{a}^{x_1}f(x)dx\right|+\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx\right|+\ldots+\left|\int\limits_{x_n}^{b}f(x)dx\right|$
Các ví dụ.
Ví dụ 1. Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|1-x|dx$
Giải.
Cách 1.
$1-x=0\Leftrightarrow x=1$
Vì $1-x0$ với $x\in (0;1)$ nên ta có
$I=\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx+\int\limits_{1}^{2}(x-1)dx=\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}+\left(\dfrac{x^2}{2}-x\right)\Big|_{1}^{2}=1$
Cách 2.
Giải phương trình $1-x=0\Leftrightarrow x=1\in (0;2)$
$I=\int\limits_{0}^{1}|1-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|1-x|dx=\left|\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}(1-x)dx\right|$
$=\left|\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}\right|+\left|\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{2}\right|$
$=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{2}-1\right|=1$
Ví dụ 2. Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|x^2-x|dx$
Giải
$x^2-x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
$I=\int\limits_{0}^{1}|x^2-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|x^2-x|dx=\left|\int\limits_{0}^{1}(x^2-x)dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}(x^2-x)dx\right|$
$=\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}\right|+\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{2}\right|=\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\right|$
$=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$
Ví dụ 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx$
Giải.
Ta có $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2\sin^2x}dx=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}|\sin x|dx$
Giải phương trình $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\Rightarrow $ có nghiệm $x=\pi\in (0;2\pi)$
Do đó $I=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi}|\sin x|dx+\sqrt{2}\int\limits_{\pi}^{2\pi}|\sin x|dx$
$=\sqrt{2}\left|\int\limits_{0}^{\pi}\sin xdx\right|+\sqrt{2}\left|\int\limits_{\pi}^{2\pi}\sin xdx\right|$
$=\sqrt{2}\left|(-\cos x)\Big|_{0}^{\pi}\right|+\sqrt{2}\left|(-\cos x)\Big|_{\pi}^{2\pi}\right|=\sqrt{2}|-(-1)+1|+\sqrt{2}|-1-1|=4\sqrt{2}$
Ví dụ 4. Tính $I=\int\limits_{0}^{3}\left|2^x-4\right|dx$
Giải.
$2^x-4=0\Leftrightarrow x=2\in (0;3)$
$I=\left|\int\limits_{0}^{2}(2^x-4)dx\right|+\left|\int\limits_{2}^{3}(2^x-4)dx\right|$
$=\left|\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-4x\right)\Big|_{0}^{2}\right|+\left|\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-4x\right)\Big|_{2}^{3}\right|$
$=\left|\dfrac{3}{\ln 2}-8\right|+\left|\dfrac{4}{\ln 2}-4\right|=8-\dfrac{3}{\ln 2}+\dfrac{4}{\ln 2}-4=4+\dfrac{1}{\ln 2}$.
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Tính $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\cos x}dx$
ĐS: $I=4\sqrt{2}$
Bài 2. Tính $I=\int\limits_{-3}^{3}|x^2-1|dx$
ĐS: $I=\dfrac{44}{3}$
Bài 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{|1-x^2|}{1+x^2}dx$
ĐS: $I=\sqrt{3}-2+\dfrac{\pi}{3}$.

Nguồn: mathblog.org

Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học Cao đẳng gần đây. Đây là một nội dung khá dễ chịu đối với thí sinh. Câu hỏi về số phức trong đề thi thường rất cơ bản, thí sinh nắm vững khái niệm số phức, ý nghĩa hình học, các phép toán cộng trừ, nhân chia, khai căn số phức và dạng lượng giác của số phức là có thể làm được bài. Trong bài viết này, mathblog.org xin giới thiệu một dạng bài tập liên quan đến số phức là biểu diễn hình học của số phức và tìm số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.
Trước hết xét một số ví dụ về biểu diễn hình học của số phức.
Ví dụ 1.
Tìm tập hợp các điểm $M$ trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn
a) $|z-2|=3$;
b) $|z+i| c) $|z-1+2i|>3$
Lời giải.
Viết $z$ dưới dạng đại số $z=x+yi, (x,y\in \mathbb{R})$
a) $|z-2|=3\Leftrightarrow |x+yi-2|=3\Leftrightarrow |(x-2)+yi|=3$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=3\Leftrightarrow (x-2)^2+y^2=9$
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm $I(2;0)$ bán kính $R=3$
b) $|z+i| $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+(y+1)^2} Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm $I(0;-1)$ bán kính $R=1$, không kể những điểm thuộc đường tròn biên.
c) $|z-1+2i|>3\Leftrightarrow |x+yi-1+2i|>3\Leftrightarrow |(x-1)+(y+2)i|>3$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}>3\Leftrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2>9$
Vậy tập hợp cần tìm là tất cả những điểm nằm ngoài hình tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=3$.
Ví dụ 2 (Khối B-2010)
Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=|(1+i)z|$
Lời giải.
Viết $z=x+yi, (x,y\in\mathbb{R})$
Khi đó $|z-i|=|(1+i)z|\Leftrightarrow |x+(y-1)i|=|(x-y)+(x+y)i|$
$\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=(x-y)^2+(x+y)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+2y-1=0\Leftrightarrow x^2+(y+1)^2=2$
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm $I(0;-1)$ bán kính $R=\sqrt{2}$.
Bây giờ ta xét thêm một số ví dụ kết hợp biểu diễn hình học và tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Ví dụ 3.
Trong các số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=2$, tìm số phức $z$ có môđun nhỏ nhất.
Lời giải.
Viết $z=x+yi, (x,y\in\mathbb{R})$
Khi đó $|z-1-2i|=2\Leftrightarrow |(x-1)+(y-2)i|=2\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=4$
Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=2$ là đường tròn $©$ có tâm $I(1;2)$ bán kính $R=2$
Do môđun của một số phức được biểu diễn bởi điểm $M$ là khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$ nên sô phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn $|z-1-2i|=2$ là số phức được biểu diễn bởi $M\in ©$ và cách gốc $O$ khoảng ngắn nhất.
Suy ra $M$ là giao điểm gần gốc $O$ nhất của $©$ với đường thẳng $d$ đi qua $O$ và $I$.

$d$ có VTCP $\overrightarrow{OI}=(1;2)$.
PTTS của $d:\begin{cases}
x=t&\\
y=2t&
\end{cases}$
$M\in d\Rightarrow M(t;2t)$
$M\in ©\Rightarrow (t-1)^{2}+(2t-2)^{2}=4\Leftrightarrow 5t^2-10t+1=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{5-2\sqrt{5}}{5}$ hoặc $t=\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}$
Suy ra $M=\left(\dfrac{5-2\sqrt{5}}{5};\dfrac{10-4\sqrt{5}}{5}\right)$ thuộc $©$ và gần $O$ nhất.
Vậy số phức cần tìm là $z=\dfrac{5-2\sqrt{5}}{5}+\dfrac{10-4\sqrt{5}}{5}i$
Ví dụ 4. Trong các số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-4i|=|z-2i|$, tìm số phức $z$ có môđun nhỏ nhất.
Lời giải.
Viết $z=x+yi, (x,y\in\mathbb{R})$.
Khi đó $|z-2-4i|=|z-2i|\Leftrightarrow |(x-2)+(y-4)i|=|x+(y-2)i|\Leftrightarrow (x-2)^2+(y-4)^2=x^2+(y-2)^2$
$\Leftrightarrow -4x-4y+16=0\Leftrightarrow x+y-4=0\Leftrightarrow y=4-x$
Đến đây ta có thể giải theo hai cách:
Cách 1 (Đại số)
Ta có $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(4-x)^2}=\sqrt{2x^2-8x+16}=\sqrt{2(x-2)^2+8}\geq 8$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $x=2$.
Vậy $\min |z|=2\sqrt{2}$ khi $x=2,y=2$ hay $z=2+2i$
Cách 2 (Hình học)
Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-4i|=|z-2i|$ là đường thẳng $d:y=4-x$.
Số phức $z$ có môđun nhỏ nhất thỏa mãn $|z-2-4i|=|z-2i|$ được biểu diễn bởi điểm $M$ trên $d$ cách $O$ khoảng gần nhất. Do đó $M$ là hình chiếu của $O$ trên $d$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $d\Rightarrow M=\Delta\cap d$
VTPT của $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u_d}=(-1;1)$
$\Delta: -1(x-0)+1(y-0)=0\Leftrightarrow -x+y=0$
Do đó $M:\begin{cases}
y=4-x&\\
-x+y=0&
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}
x=2&\\
y=2&
\end{cases}\Rightarrow M(2;2)$
Vậy $z=2+2i$
Nhận xét: Có thể nói đa số tập hợp số phức phải tìm được biểu diễn bởi đường thẳng hoặc đường tròn. Nếu được biểu diễn bởi đường thẳng thì ta nên giải theo phương pháp đại số cho ngắn gọn. Trường hợp không phải đường thẳng thì dùng phương pháp hình học.
Bài tập đề nghị
Bài 1 (Khối D-2009). Trong mặt phẳng $Oxy$ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z-(3-4i)|=2$.
Bài 2. Trong các số phức thỏa mãn $|z-2+3i|=\dfrac{3}{2}$, tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Bài 3. Trong mặt phẳng $Oxy$ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức $z$ thỏa mãn:
a) $|z+\overline{z}+3|=4$;
b) $|z^2-(\overline{z})^2|=4$;
c) $2|z-1|=|z-\overline{z}+2|$.

Nguồn: mathblog.org