Shin Janny

 

-Để  $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số chính phương thì  $4x^{3}+4x^{2}+4x+1\geq 0 <=> x\geq 0$

-Nhận thấy $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số lẻ $=>$ Nếu $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là bình phương của 1 số thì nó là bình phương của 1 số lẻ

-Giả sử $4x^{3}+4x^{2}+4x+1 = (2m+1)^{2}$

   $<=> 4x^{3}+(2x+1)^2=(2m+1)^2$

   $<=>x^{3}=(m-x)(m+x+1)$

-Nhận thấy $x=0$ thỏa mãn đề bài.

-Xét $x \neq 0$, vì $x\epsilon Z$ nên ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix}m-x=x &  & \\m+x+1=x^2 &  & \end{matrix}\right.$ ( hệ này không có nghiệm nguyên)

hoặc

$\left\{\begin{matrix}m-x=x^2 &  & \\m+x+1=x &  & \end{matrix}\right.$ ( hệ này cũng không có nghiệm nguyên)

Vậy số nguyên $x$ thỏa mãn đề bài là $x=0$.

 

Không đúng bạn à.

Như bạn đã có cái này

''$<=>x^{3}=(m-x)(m+x+1)$''

nhưng không thể suy ra chỉ có 2 hệ

Ví dụ: $x^{3}=2^{3}.3^{3}$ dẫn đến $2^{3}.3^{3}=(m-x)(m+x+1)$ thì có thể có trường hợp sau $m-x=3,m+x+1=2^{3}.3^{2}$

Ý mình ở đây là bạn chưa biết các ước của x.

$\widehat{ACH}=\widehat{ABM}=\widehat{ACM},AC\perp HM\Rightarrow $ AC là đường trung trực của HM

Nên AH=AM

Vẽ đường kính AG.

$AH^{2}=AM^{2}=AK.AG$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) $=AK.2AO$

Cho B= $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-2\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+2\sqrt{2}}}$. B có phải là số tự nhiên không?

B= $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-2\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+2\sqrt{2}}}$

$= \frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}.\sqrt{17+2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{17-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-2\sqrt{2}}.\sqrt{17+2\sqrt{2}}}$

$= \frac{\sqrt{43-28\sqrt{2}}-\sqrt{43+28\sqrt{2}}}{\sqrt{17^{2}-8}}<0$

Vậy B không là sô tự nhiên

Tính giá trị biểu thức: $M=\sqrt{\left | 12\sqrt{5}-29 \right |}+\sqrt{25+4\sqrt{21}}-\sqrt{12\sqrt{5}+29}-\sqrt{25-4\sqrt{21}}$

$M=\sqrt{\left | 12\sqrt{5}-29 \right |}+\sqrt{25+4\sqrt{21}}-\sqrt{12\sqrt{5}+29}-\sqrt{25-4\sqrt{21}}$

$=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-2.2\sqrt{5}.3+3^{2}}+\sqrt{(\sqrt{21})^{2}+2.\sqrt{21}.2+2^{2}}-\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+2.2\sqrt{5}.3+3^{2}}-\sqrt{(\sqrt{21})^{2}+2.\sqrt{21}.2-2^{2}}$

$= (2\sqrt{5}-3)+(\sqrt{21}+2)-(2\sqrt{5}+3)-(\sqrt{21}-2)=-2$

Cho $A=\sqrt{3-\sqrt{5}}.(3+\sqrt{5}).(\sqrt{10}-\sqrt{2})$. chứng minh rằng A là số tự nhiên.

$A=\sqrt{3-\sqrt{5}}.(3+\sqrt{5}).(\sqrt{10}-\sqrt{2})$

      = $(\sqrt{3-\sqrt{5}}.\sqrt{3+\sqrt{5}})\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{2}.(\sqrt{5}-1)$

    =$\sqrt{9-5}.\sqrt{6+2\sqrt{5}}(\sqrt{5}-1)$

    =$2.(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)$

    =$2.(5-1)=8$ là số tự nhiên

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca$\leq$ 3abc. Chứng minh rằng:

                   $a+b+c\leq a^3+b^3+c^3$

2.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+2=abc.Chứng minh rằng:

                   $1/\sqrt{1+a} + 1/\sqrt{1+b} + 1/\sqrt{1+c} \leq \sqrt{3}$.

Thanks.

1/ $3abc\geq ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geq 1$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{c}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}=\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{a+b+c}\geq a+b+c$ 

Chỉ giúp mình với các bạn! Cám ơn nhiều!

Chứng minh: 

a) Hàm số $$y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}$ đồng biến trên khoảng (-oo; 1) và (1; +oo) 

b) Hàm số y = |x - 1| + 2x đồng biến trên R

b/ _ Với $x\geq 1$ thì y=3x-1

      Lấy $x_{1}< x_{2}$ thì $y_1=3x_1-1<3x_2-1=y_2$ nên hàm số đồng biến trên R.

    _ Với x<1 thì làm tương tự

Chỉ giúp mình với các bạn! Cám ơn nhiều!

Chứng minh: 

a) Hàm số $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}$ đồng biến trên khoảng (-oo; 1) và (1; +oo) 

b) Hàm số y = |x - 1| + 2x đồng biến trên R

a/ $\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} =\frac{ \frac{{{x_{2}^2}-x_{2}-1}}{{x_{2}-1}}-\frac{{{x_{1}^2}-x_{1}-1}}{{x_{1}-1}}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\frac{(x_{2}^{2}-2x_{2}+1)+(x_2-1)-1}{x_{2}-1}-\frac{(x_{1}^{2}-2x_{1}+1)+(x_{1}-1)-1}{x_{1}-1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{2}-x_{1}+\frac{x_{2}-x_{1}}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)}}{x_{2}-x_{1}}=1+\frac{1}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)}$

+ Với $x\in (-\infty;1)\Rightarrow (x_{2}-1)(x_{1}-1) > 0\Rightarrow \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}> 0$

   nên hàm số đồng biến

+ Với $x\in (1;+\infty )$ ...(tương tự)

 Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $(x-y+z)^{2}+2xy-8xz+2yz<0$ và $5x-4y+5z<0$. Chứng minh rằng: $2017x-2016y+2017z<0$

Cho a,b,c,x là các số thực thỏa mãn: a²+b²+c²+x=15 và a+b+c+x=7. Chứng minh rằng: 2x²-7x+2<0

Hình như phải là  a²+b²+c²+x²=15  thì phải.

$15-x^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{(7-x)^{2}}{3}$ $\Rightarrow$đpcm

Giải phương trình nghiệm nguyên

a)$2x^{2} + 3xy -2y^{2} = 7$

b)$x^{2}-xy=6x-5y-8$

b/ (x-y-1)(x-5) = -3

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thì 3 bất đẳng thức sau không thể cùng đúng

$\left | a \right |< \left | b-c \right |$

$\left | b \right |< \left | c-a \right |$

$\left | c \right |< \left | a-b \right |$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{4}{a^{2}+7}$

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c},...$

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{2}{a+2b+c}$

$\sum \frac{4}{a^{2}+7}= \sum \frac{4}{(2a^{2}+2)+(b^{2}+1)+(c^{2}+1)}\leq \sum \frac{4}{4a+2b+c}=\sum \frac{2}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+b}$

16. ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$

$\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\geq \frac{3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$= \frac{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\geq 4\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}.\frac{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}.\frac{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}{2\sqrt[3]{abc}}.\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$= 4$

15. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}\geq 2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

$\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$=a(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})+b(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})+c(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

$=(a+b+c)(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}) $

$\geq (a+b+c)\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{3}=\frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{3}$

$\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}.(\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c})}{3}=3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow$ đpcm