vutuanhien

Rất có thể cách tính nhẩm như em nói chính là cách "hiển nhiên" của tác giả. Em có thể chia sẻ thêm tại sao lại nhìn ra ngay được là bài toán ban đầu có thể đưa về việc tìm một hệ số để nhân với $5$ cộng $1$ chia hết cho $8$ không? Theo cách anh làm ở trên thì tất nhiên là đúng như vậy, nhưng anh cần phải đặt bút xuống mới tới được bước đó, và anh đang cố gắng hiểu suy nghĩ trong đầu của những người nhìn ngay ra được. Anh đưa một ví dụ bên dưới để em hiểu ý anh là gì.

 

Nếu ai hay áp dụng định lý phần dư Trung Hoa thì rất có thể họ sẽ xử lí trong đầu như sau:

 

Ta cần tìm $x$ sao cho $x \equiv 1\pmod{125}$ và $x \equiv 0\pmod{8}$, vì khi đó ta sẽ có $2^{100}\equiv x\pmod{1000} $ theo định lý phần dư Trung Hoa. Muốn tìm $x$ ta nhẩm để tìm $r$ sao cho $8\mid 125\times r + 1$. Vì $8\mid 120$ nên $8\mid 5r + 1$, suy ra $r=3$.

À cách nghĩ của em cũng giống điều mà anh viết thôi ạ, có thể là em "quen" các bài này nên nhẩm nhanh hơn thôi ạ. Em nhớ là hồi lớp 6 em đọc sách Nâng cao phát triển của thầy Vũ Hữu Bình cũng có những bài kiểu tìm $x$ mà $x\equiv 3$ mod $4$, $x\equiv 6$ mod 11... mà hồi đó không biết định lý phần dư Trung Hoa nên phải học cách nhẩm: Tìm $y$ chia hết cho $4$ để $y+3\equiv 6$ mod $11$...

Còn những bài này về cơ bản đúng là phải dùng định lý phần dư Trung Hoa và đưa về giải phương trình $xb_{1}+yb_{2}=1$ như Hoang72 đã bình luận ở trên nên em nghĩ là không có cách nào hiển nhiên để nhìn ra được số 376.

Đúng là nếu biết kết quả là $376$ thì có thể kiểm chứng lại như vậy. Ở đây dùng tính chất nếu $a\equiv b\pmod {m}$ và $a\equiv b\pmod {n}$ với $(m,n) = 1$ thì $a\equiv b\pmod {mn}$.

 

Không biết có cách nào tìm ra được số $376$ nhanh hơn cách Nesbit đã làm ở trên không. Đọc sách thấy ghi là hiển nhiên nên chắc những người giỏi họ nhìn ra ngay được

Em cũng cảm thấy là không có cách nào để nhìn ra ngay được con số 376 trừ khi đã biết trước thì có thể nói là 'hiển nhiên'. Tất nhiên ở trường hợp này số cũng khá nhỏ nên có thể tính nhẩm nhanh được ($125\equiv 5$ mod 8 nên cần nhân 3 lên để cộng 1 chia hết cho 8, ra được 376).

Cho n số nguyên dương $a_1<a_2<...<a_n$ sao cho tập hợp số nguyên dương có thể chia thành vô hạn tập con, với mỗi tập con có dạng $\{a_1k,a_2k,...,a_nk\}$ với số nguyên dương $k$ nào đó. Chứng minh rằng $a_i|a_n$ với mọi $1\le i \le n$ 

Có mấy chỗ mình không hiểu rõ ở đề bài này.

1) Chia thành vô hạn tập con ở đây là phân hoạch hay chỉ là chia bình thường?

2) Với đề bài thế này thì có thể thấy ngay $a_{1}=1$. Nếu không thì chọn $p$ là số nguyên tố sao cho $(p, a_{i})=1$ với mọi $i$ sẽ suy ra $p$ không nằm trong bất cứ tập $\{a_{1}k,\dots, a_{n}k\}$ nào. Nhưng với $a_{1}=1$ thì các số sau chọn bất kỳ đều thỏa mãn đề bài.

Hình như đây là hệ quả của định lý Schur ạ? Tập các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n\in\mathbb Z$ để $p\mid f(n)$ là vô hạn.

Nếu mình không hiểu nhầm thì ý của đề bài là tập $p\mid f(n)$ là vô hạn chỉ trừ một số nguyên tố duy nhất, tức là mạnh hơn kết quả của Schur.

Với một đa thức $Q$ hệ số nguyên và một số nguyên tố $p$, ta nói rằng đa thức $Q$ không bao gồm $p$ nếu không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn: $p | Q(n)$.

Tồn tại chăng một đa thức hệ số nguyên, không có nghiệm hữu tỷ thỏa mãn điều kiện: chỉ không bao gồm đúng $1$ số nguyên tố?

Em nghĩ kết quả này có lẽ có thể chỉ ra được là không nếu sử dụng kết quả mạnh như định lý phân bố của Chebotarev. Ý tưởng chung là tập $p$ mà $Q$ không bao gồm $p$ có mật độ lớn hơn 0, tức là không thể hữu hạn.

Định lý. Giả sử $Q$ là một đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Q}[X]$ có bậc $n\ge 2$. Với mỗi $p$ nguyên tố, ký hiệu $N_{p}(Q)$ là số nghiệm của $Q$ trên $\mathbb{F}_{p}$ (tức là $Q$ modulo $p$). Khi đó tồn tại vô hạn $p$ để $N_{p}(Q)=0$, tức là tồn tại vô hạn $p$ mà $Q$ không bao gồm $p$.

Chứng minh của kết quả này dựa vào định lý Chebotarev có thể tham khảo ở đây hoặc ở đây.

Em cảm ơn các anh đã động viên, góp ý và tạo điều kiện cho em.

Kì thực khi em viết bài về mở rộng - hạn chế ideal, em muốn chia sẻ về một thứ khá hay mà em chắt lọc được từ cuốn Đại số giao hoán của Atiyah. Em không có ý định trình bày (dịch lại) toàn bộ cuốn của Atiyah mà muốn viết theo cách hiểu của em.

Hơn nữa, từ khóa K64 của em, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN không còn mở các học phần nâng cao về đại số (Đại số giao hoán, Hình học đại số, Tô pô đại số,...) nên em thấy các khóa K64 đổ đi muốn theo Đại số khá là thiệt thòi. Do đó em cũng mong muốn viết lên diễn đàn cũng để giúp đỡ một chút gì đó cho các khóa sau. Em không dám nói là những gì mình viết ra là chuẩn chỉ, nhưng chắc chắn nó có tính tham khảo.

Nếu tốt hơn nữa như comment của anh Bằng, từ những bài viết này em sẽ có cơ sở để viết những chủ đề sâu hơn. Cụ thể hơn khi em viết bài rất mong nhận được:
+ Góp ý về các lỗi sai, về cách hiểu sai và quan niệm sai,
+ Góp ý về các góc nhìn khác của vấn đề,
+ Góp ý về các chủ đề sâu sắc hơn liên quan.

Em xin chân thành cảm ơn các anh!

Theo như anh biết thì trường mình chưa bao giờ có mấy học phần đó cho sinh viên đại học cả. Ngày xưa bọn anh phải học ké lớp cao học.

Dù sao thì anh nghĩ em có thể tạo một chủ đề về Đại số giao hoán trong box Toán Đại học rồi thảo luận những thứ em tìm ra được. Trong sách của Atiyah cũng có nhiều bài tập khá khó đối với sinh viên mới học, em có thể thảo luận mấy cái đó luôn. Một số được áp dụng rất nhiều vào hình học đại số (địa phương hóa, mở rộng nguyên...) hoặc lý thuyết số (Dedekind domain).

Ta thử tìm hiểu xem i-đê-an của một số tập quen thuộc như một "trường" $K$ ($K=\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$), tập số nguyên $\mathbb{Z}$ hoặc tập đa thức $K[X]$ có dạng như thế nào.

Ví dụ 1. I-đê-an của $K$.

Đối với $K$, ta khẳng định rằng chỉ có hai ideal là $(0)$ (i-đê-an tầm thường) và $K$ (i-đê-an sinh bởi $1$). Thật vậy, giả sử $I$ là một i-đê-an khác $(0)$ của $K$. Như vậy tồn tại một phần tử $x$ khác $0$ của $I$. Vì $K$ là một trường (ở đây ta có thể coi $K=\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$) nên ta có phần tử nghịch đảo của $x$ là $1/x$ trong $K$. Theo định nghĩa của i-đê-an thì $1=x.(1/x)\in I$, và vẫn theo định nghĩa thì với mọi $y\in K$ ta có $y=1.y\in I$. Do đó $I$ chỉ có thể là toàn bộ $K$.

Ví dụ 2. I-đê-an của $\mathbb{Z}$.

Các i-đê-an của $\mathbb{Z}$ có tính chất rất đẹp là chúng được sinh bởi một phần tử, tức là để biết một i-đê-an thì ta chỉ cần tìm ra phần tử sinh của nó. Điều này có được là nhờ vào phép chia Euclid. Gọi $I$ là một i-đê-an khác $(0)$ của $\mathbb{Z}$, và xét $n\in I$ là phần tử khác $0$ có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất (tất nhiên ta có thể chọn $n>0$ vì nếu $n\in I$ thì $-n\in I$). Với mọi $x\in I$, theo phép chia Euclid thì tồn tại $q, r\in \mathbb{Z}$ sao cho

$$x=q.n+r, 0\le r<|n|.$$

Vì $n\in I$ nên $q.n\in I$ theo định nghĩa của I-đê-an, và do đó $r=x-q.n\in I$. Nhưng $|r|<|n|$ nên từ cách chọn $n$ ta phải có $r=0$. Do đó $n|x$ với mọi $x\in I$, tức là mọi phần tử của i-đê-an $I$ đều chia hết cho một số nguyên $n$ nào đó. Hơn thế nữa, nếu $I=(n)$ và $J=(m)$ thì $I\subseteq J$ khi và chỉ khi $m|n$. Do đó nếu ta có một dãy tăng các i-đê-an

$$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq \dots\subseteq I_{k}\subseteq \dots$$

thì dãy này phải dừng từ một thời điểm nào đó (tức là tồn tại $k$ để $I_{k}=I_{k+1}=\dots$), vì một số nguyên chỉ có hữu hạn ước số. Ta gọi đây là tính chất $\textbf{A.C.C}$ (ascending chain condition).

Ví dụ 3. I-đê-an của $K[X]$ ($K=\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$)

Ta có thể hình dung về tập đa thức $K[X]$ giống hệt như tập số nguyên $\mathbb{Z}$. Trên tập này ta cũng có phép chia Euclid

$$f(X)=q(X)g(X)+r(X), \text{deg}(r)<\text{deg}(g),$$

và như vậy các i-đê-an của $K[X]$ cũng được sinh bởi một phần tử giống như các i-đê-an của $\mathbb{Z}$, mọi dãy tăng các i-đê-an trong $K[X]$ đều phải dừng vì một đa thức chỉ có hữu hạn ước "phân biệt". Do đó để giải một hệ phương trình đa thức một ẩn

$$\begin{cases}f_{1}(X)=0\\ f_{2}(X)=0\\ \dots \\ f_{n}(X)=0 \end{cases}$$

ta có thể quy về việc tìm nghiệm của một đa thức $f(X)=0$. Từ đây ta cũng thấy rằng một tập đại số trong $\mathbb{A}_{K}^{1}$ là một tập hữu hạn (và ngược lại).

Từ ví dụ 3 ta có thể khẳng định ngay định lý cơ sở Hilbert đúng trong trường hợp $n=1$ (vì mọi i-đê-an đều được sinh bởi một phần tử, $I=(f)$ với $f$ nào đó). Phải chăng các i-đê-an của $K[X, Y]$ đều được sinh bởi hai phần tử ($I=(f_{1}, f_{2})$)? Câu trả lời là không.

Ta đến với chứng minh định lý cơ sở của Hilbert.

Định lý (Định lý cơ sở Hilbert). Nếu $I$ là một i-đê-an của $K[x_1,\dots,x_n]$ thì tồn tại $f_1,\dots,f_m$ sao cho $I=(f_1,\dots,f_m).$

Chứng minh. (Chứng minh này có thể không phải sơ cấp nhất nhưng em nghĩ là có thể hiểu được cả với học sinh, nếu anh Nxb có chứng minh khác thì có thể sửa lại bài em)

Ta chứng minh kết quả với $K=\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$. Trường hợp $n=1$ đã được nhắc đến ở ví dụ 3. Ta chứng minh định lý với $n=2$ vì đây là trường hợp ta quan tâm nhiều nhất (các đường cong đại số).

Phản chứng, giả sử có một i-đê-an $I$ của $K[X, Y]$ không thỏa mãn tính chất cần chứng minh. Ý tưởng đầu tiên để đưa trường hợp $n=2$ về $n=1$ là ta coi mỗi đa thức hai biến $f(X, Y)$ là một đa thức một biến theo $Y$ với hệ số là các đa thức một ẩn $X$. Chẳng hạn, nếu

$$f(X, Y)=X^{2}-XY+Y$$

thì ta có thể viết lại $f(X, Y)=(-X+1)Y+X^{2}$. Đây là đa thức bậc $1$ theo $Y$.

Ta gọi $f_{1}$ là đa thức khác $0$ có bậc nhỏ nhất trong $I$, với bậc $n_{1}$ và hệ số đầu $a_{1}\in K[X]$. Nếu $I=(f_{1})$ thì $I$ có tính chất cần chứng minh (mâu thuẫn với giả sử) nên $I\neq (f_{1})$. Vì vậy ta có thể chọn $f_{2}$ là đa thức có bậc nhỏ nhất trong $I\setminus (f_{1})$, với bậc $n_{2}$ và hệ số dẫn đầu $a_{2}\in K[X]$. Lặp lại quá trình này ta thu được các đa thức $f_{1}, f_{2},\dots, f_{m},\dots$ sao cho $f_{k+1}\not\in (f_{1},\dots, f_{k})$. Hơn thế nữa thì $n_{1}\le n_{2}\le\dots\le n_{k}$ theo cách chọn. Xét dãy tăng các i-đê-an trong $K[X]$:

$$(a_{1})\subseteq (a_{1}, a_{2})\subseteq \dots \subseteq (a_{1}, a_{2},\dots, a_{m})\subseteq \dots$$

Theo nhận xét ở VD3 thì dãy tăng này phải dừng, tức là $(a_{1}, a_{2},\dots, a_{k})=(a_{1}, a_{2},\dots, a_{k+1})$ với $k$ nào đó. Từ định nghĩa của i-đê-an sinh bởi một tập thì tồn tại $\alpha_{1},\dots, \alpha_{k}\in k[X]$ sao cho

$$a_{k+1}=\alpha_{1}a_{1}+\dots+\alpha_{k}a_{k}.$$

Xét đa thức

$$g=f_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}X^{n_{k+1}-n_{i}}f_{i}.$$

Cả hai hạng tử đều có bậc là $n_{k+1}$, nhưng hệ số bậc $n_{k+1}$ là $a_{k+1}-\sum \alpha_{i}x_{i}$ đã bị triệt tiêu nên $\text{deg}(g)<n_{k+1}$. Lại chú ý rằng $f_{k+1}\not\in (f_{1},\dots, f_{k})$ nên $g\not\in (f_{1},\dots, f_{k})$ (trong công thức của $g$ thì hạng tử sau thuộc $(f_{1},\dots, f_{k})$. Do đó theo định nghĩa của $f_{k+1}$ là đa thức bậc nhỏ nhất trong $I\setminus (f_{1},\dots, f_{k})$ thì $\text{deg}(g)\ge \text{deg}(f_{k+1})$ (mâu thuẫn). Vậy mọi i-đê-an $I$ trong $K[X, Y]$ đều có tính chất tồn tại $f_1,\dots,f_m$ sao cho $I=(f_1,\dots,f_m).$ $\square$

Trường hợp tổng quát ($n$ bất kỳ hoặc $K=\mathbb{Z}$) có thể chứng minh bằng quy nạp và kết hợp nhận xét dưới đây

Bổ đề. Nếu định lý trên là đúng thì $K[X_{1},\dots, X_{n}]$ có tính chất $\textbf{A.C.C}$ (mọi dãy tăng các i-đê-an đều phải dừng).

Sử dụng bổ đề này rồi quy nạp và lặp lại các lập luận ở trường hợp $n=2$ với $K[X]$ thay bởi $K[X_{1},\dots, X_{n-1}]$, ta quy về chứng minh rằng $K$ có tính chất $\textbf{A.C.C}$. Điều này đã được thể hiện ở ví dụ 1 và 2. Ta kết thúc chứng minh.

Sách tiếng Anh thì em nhớ có cuốn Linear Algebra Done Right của Axler khá nổi tiếng và thiên về luyện tập tính toán hơn là lý thuyết. Có điều sách không có lời giải nên mới học tự làm bài tập cũng hơi khó. 

mik ko hiểu cái đoạn triệt tiêu thành a^r đồng dư b^r mod m lắm

Nếu $ac\equiv bc$ mod $m$ và $(c, m)=1$ thì $a\equiv b$ mod $m$.

Cho a,b,m là các số nguyên dương thỏa mãn:

(a,m)=(b,m)=1

$a^{x}\equiv b^{x}$ (mod m)

$a^{y}\equiv b^{y}$ (mod m)

CMR $a^{gcd(x,y)}\equiv b^{gcd(x,y)}$ (mod m)

cái tính chất này mik ko bt có đúng hay ko nữa@@

Bạn có thể sử dụng công thức Bezout: Với $x, y$ là các số nguyên thì tồn tại $x', y'\in \mathbb{Z}$ sao cho $gcd(x, y)=xx'+yy'$.

Cho em hỏi: sau khi dùng Gauss-Jordan đưa về ma trận dạng trên thì hạng nó có chắc bằng nhau không? Em cảm ơn.

Bạn có thể tự chứng minh rằng các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng hoặc tìm kết quả này trong các tài liệu. Mỗi phép biến đổi sơ cấp thực chất là một phép nhân ma trận với một ma trận khả nghịch, do đó hạng được bảo toàn. Một cách trực quan thì trong thực hành ta cũng hay dùng phép biến đổi Gauss để tính hạng của ma trận. 

Dạ đúng rồi, do em đọc phần này là ma trận vuông ạ. Nếu có thể chứng minh giùm em hoặc hướng dẫn giùm em. Em xin cảm ơn!!!

Sử dụng phép biến đổi Gauss-Jordan thì mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận có dạng $\begin{pmatrix} I_{r} & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ thông qua các phép biến đổi sơ cấp. Từ đây suy ra kết quả mà ta đang cần. 

Em có đọc tài liệu, sau khi định nghĩa hai ma trận đồng dạng, tới phần tính chất có nói: " Hai ma trận đồng dạng khi và chỉ khi chúng cùng hạng". 
Xin Anh chị chỉ giáo giùm. Em xin cảm ơn! 

Mình nghĩ phát biểu đúng phải là hai ma trận tương đương khi và chỉ khi có cùng hạng, chứ đồng dạng thì không chính xác. 

4. Các đối đồng điều bậc cao và một số tính chất cơ bản của đối đồng điều (phần 3)

III. Sơ lược về lý thuyết trường các lớp (Class Field Theory).

Trong phần này mình giới thiệu hai kết quả cơ bản khác của đối đồng điều của nhóm là tính tuần hoàn của đối đồng điều của nhóm cyclic và định lý Tate-Nakayama. Các kết quả này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết trường các lớp. Một trong những ý tưởng khởi nguồn của lý thuyết trường các lớp (CLT) bắt nguồn từ lý thuyết Galois, cụ thể là câu hỏi về tính giải được bằng căn thức của một đa thức. Với mỗi một đa thức $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$, Galois gắn với đa thức này một nhóm $G_{f}$ và chứng minh được rằng $f$ là giải được khi và chỉ khi $G_{f}$ là một nhóm giải được, i.e. $G_{f}$ có một dãy chuẩn tắc các nhóm con abel và trường phân rã của $f$ chứa một chuỗi các mở rộng abel, chẳng hạn như $$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{3})\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{3}, \sqrt[3]{2}).$$ Do đó một việc rất tự nhiên là ta cần nghiên cứu và phân loại các mở rộng abel của một trường.

Như vậy việc phân loại các mở rộng Abel của một trường địa phương được đưa về việc mô tả các nhóm con chuẩn (norm groups). Điều này đã được hoàn tất thông qua kết quả sau đây.

Định lý 5 (Local Existence Theorem). Các nhóm con chuẩn của $K^{\times}$ chính là các nhóm con mở có chỉ số hữu hạn.

Chìa khóa cho chứng minh luật thuận nghịch địa phương bằng đối đồng điều là các kết quả sau:

1) Với mọi mở rộng abel hữu hạn $L/K$, nhóm $H^{2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})$ là một nhóm con cyclic của $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ cấp $[L:K]$. Nhóm này có một phần tử sinh chính tắc. Hơn thế nữa, ta có một đẳng cấu (gọi là ánh xạ bất biến)

\[\text{inv}_{K}:H^{2}(\text{Gal}(K^{ur}/K), (K^{ur})^{\times})\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\]

2) Vì $H^{2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})$ là cyclic và $H^{1}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})=0$ theo định lý Hilbert 90, từ định lý Tate-Nakayama ta có một đẳng cấu $H^{-2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})\cong H^{0}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})$. Các kết quả về đối đồng điều Tate cho ta biết rằng

$H^{-2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})\cong \text{Gal}(L/K)^{ab}$ và $H^{0}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})\cong K^{\times}/\text{Nm}(L^{\times})$.

Lấy ánh xạ ngược của đẳng cấu trên ta có một đẳng cấu 

\[\phi_{L/K}:K^{\times}/\text{Nm}(L^{\times})\to \text{Gal}(L/K)^{ab}\]

và lấy giới hạn, ta thu được ánh xạ $\phi_{K}:K^{\times}\to \text{Gal}(K^{ab}/K)$ chính là ánh xạ cần tìm (còn gọi là ánh xạ Artin địa phương).  

IV. Đối đồng điều Tate (Tate cohomology) và định lý Tate-Nakayama.

Giống như việc đối đồng điều được định nghĩa thông qua hàm tử khớp trái $A^{G}$ và một dải nội xạ, ta có thể định nghĩa đồng điều $A_{G}$ thông qua hàm tử khớp phải và một dải xạ ảnh (projective resolution). Đối đồng điều Tate là một cách để kết nối hai khái niệm đồng điều và đối đồng điều với nhau. 

Định nghĩa 6. Một $G$-module $P$ được gọi là xạ ảnh nếu $\text{Hom}_{G}(P, \bullet)$ là một hàm tử khớp. 

Từ đây ta có một dãy khớp, gọi là dải tự do đầy đủ

Có thể thấy ngay rằng dải này là kết hợp của hai dải

\[0\rightarrow \mathbb{Z}\xrightarrow{\mu}X_{-1}\xrightarrow{d_{-1}}X_{-2}\xrightarrow{d_{-2}}\dots\]

\[\dots\rightarrow X_{2}\xrightarrow{d_{2}}X_{1}\xrightarrow{d_{1}}X_{0}\xrightarrow{\epsilon}\mathbb{Z}\rightarrow 0\]

Về cơ bản, đồng điều được lấy từ dãy thứ nhất và đối đồng điều được lấy từ dãy thứ hai. Chú ý rằng các $G$-module $X_{i}$ là tự do nên lấy đối ngẫu ta có một phức

\[\dots\xrightarrow{d_{-1}}\text{Hom}(X_{-1}, A)\xrightarrow{d_{0}}\text{Hom}(X_{0}, A)\xrightarrow{d_{1}}\text{Hom}(X_{1}, A)\xrightarrow{d_{2}}\dots\]

 

Định nghĩa 9 (Đối đồng điều Tate). Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều Tate thứ $n$ với hệ số trong $A$ là

\[H_{T}^{n}(G, A)=\text{Ker}(d_{n+1})/\text{Img}(d_{n}).\]

Cụ thể hơn, ta có

\[H_{T}^{n}(G, A)=\left\{\begin{matrix} H^{n}(G, A), & n\ge 1\\ A^{G}/\text{Nm}_{G}(A), & n=0\\ \text{Ker}(\text{Nm}_{G})/I_{G}A, & n=-1\\ H_{-n-1}(G, A), & n< -1 \end{matrix}\right.\]

 

4. Các đối đồng điều bậc cao và một số tính chất cơ bản của đối đồng điều (phần 2)

II. Tính $\delta$-hàm tử và dãy inflation-restriction

Trong các phần 1, 2 và 3, ta đã thấy sự xuất hiện của dãy khớp đối đồng điều. Đây là một tính chất cực kỳ quan trọng của đối đồng điều và có nhiều ứng dụng, chẳng hạn nó cho phép ta sử dụng kỹ thuật "dimensional shifting". Với mỗi $G$-module $A$, ta có một $G$-module cảm sinh $A_{*}=\text{Ind}^{G}(A)$ và $A_{\dagger}=A_{*}/A$. Như vậy ta có dãy khớp

Định nghĩa 2. Một $\delta$- hàm tử đối đồng điều (cohomological $\delta$-functor) từ phạm trù abel $\mathcal{A}$ vào phạm trù abel $\mathcal{B}$ là một họ các hàm tử cộng tính $T^{n}: \mathcal{A}\to \mathcal{B}$ (với mọi $n\ge 0$) cùng với các cấu xạ $\delta^{n}: T^{n}(C)\to T^{n+1}(A)$ được xác định bởi mỗi dãy khớp $ 0\to A\to B\to C\to 0$ trong $\mathcal{A}$, thỏa mãn đồng thời hai tính chất:

1) Với mỗi dãy khớp như trên, ta có một dãy khớp dài:

\[\dots \rightarrow T^{n}(A)\rightarrow T^{n}(B)\rightarrow T^{n}(C)\xrightarrow{\delta_{n}} T^{n+1}(A)\rightarrow \dots\] 

2) Với mỗi cấu xạ

giữa hai dãy khớp ngắn  các cấu xạ $\delta$ cho ta biểu đồ giao hoán

 

Ví dụ. Hàm tử $T^{n}(A):=H^{n}(G, A)$ là một $\delta$-hàm tử đối đồng điều từ phạm trù $\mathcal{A}=G$-mod vào phạm trù $\mathcal{B}=Ab$. 

 

Định nghĩa 3. Một $\delta$-hàm tử đối đồng điều $T$ được gọi là phổ dụng nếu với mỗi $\delta$- hàm tử đối đồng điều $S$ và với mỗi cấu xạ $f^{0}: T^{0}\to S^{0}$, tồn tại duy nhất một cấu xạ $T\to S$ các $\delta$-hàm tử là mở rộng của $f^{0}$.

 

Định lý 4. Giả sử $\mathcal{A}$ là một phạm trù có đủ nội xạ và $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ là một hàm tử khớp trái giữa hai phạm trù abel. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải $R^{n}F$ là một $\delta$-hàm tử đối đồng điều phổ dụng. 

 

Đã có tính phổ dụng của hàm tử đối đồng điều, giờ ta có thể xem xét các tính chất hàm tử của nó. Ở đây ta định nghĩa các khái niệm inflation, restriction, correstriction map dựa trên tính phổ dụng của hàm tử đối đồng điều. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và $g$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$. Nếu $A$ là một $G$-module thì $A$ cũng là một $g$ và $A^{G}$ là một $G/g$-module. Câu hỏi đặt ra là liệu có mối liên hệ gì giữa các nhóm đối đồng điều $ H^{n}(G, A)$, $H^{n}(g, A)$, $ H^{n}(G/g, A)$?

 

Định nghĩa 5 (Ánh xạ hạn chế - Restriction map). Giả sử $H$ là một nhóm và $ \rho:H\to G$ là một đồng cấu nhóm. Ta có hàm tử quên $\rho^{\bullet}$ từ phạm trù $G$-mod vào phạm trù $H$-mod là khớp. Theo tính chất phổ dụng của hàm tử đối đồng điều, đơn cấu $A^{G}\to (\rho^{\bullet}A)^{H}$ cảm sinh duy nhất một cấu xạ $\rho^{*}=\text{Res}_{H}^{G}$ của các $\delta$-hàm tử

\[\text{Res}_{H}^{G}: H^{*}(G, A)\to H^{*}(H, \rho^{\bullet}A).\]

Chú ý rằng ở đây ta xem $S^{n}(A)=H^{n}(H, \rho^{\bullet}A)$ như một hàm tử từ phạm trù $G$-mod vào phạm trù $Ab$. Đây là một $\delta$-hàm tử vì hàm tử $\rho^{\bullet}$ là hàm tử khớp.  

 

Định nghĩa 6 (Ánh xạ dãn - Inflation map). Giả sử $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$, $ A$ là một $G$-module. Ánh xạ 

\[\text{Inf}:H^{*}(G/H, A^{H})\xrightarrow{\text{Res}} H^{*}(G, A^{H})\rightarrow H^{*}(G, A)\]

được gọi là ánh xạ dãn.

 

Định nghĩa 7 (Ánh xạ đối hạn chế - Correstriction map). Giả sử $H$ là một nhóm con của $G$ có tập biểu diễn lớp kề $S$, tức là $G=\bigcup_{s\in S}sH$. Ta có một ánh xạ chuẩn được định nghĩa bởi \[A^{H}\longrightarrow A^{G}, a\mapsto \sum_{g\in G}ga\]

và do đó nó cảm sinh một cấu xạ giữa các $\delta$-hàm tử, gọi là ánh xạ đối hạn chế

\[ \text{Cor}: H^{*}(H, A)\longrightarrow H^{*}(G, A).\]

 

 

Chú ý (Tính hàm tử của $H^{*}$ và ánh xạ hạn chế) Giả sử $\mathcal{D}$ là phạm trù các cặp $(G, A)$ với $G$ là một nhóm còn $A$ là một $G$-module, cùng với các cấu xạ $(H, B)\to (G, A)$ là một cặp $\rho:H\to G, \varphi:\rho^{\bullet}A\to B$. Mỗi cặp $(\rho, \varphi)$ như vậy sẽ cảm sinh một ánh xạ $\varphi\circ \text{Res}_{H}^{G}:H^{*}(G, A)\to H^{*}(H, B)$. Nói riêng, ánh xạ hạn chế cảm sinh từ $(\rho, \rho^{\bullet}A=B)$. 

 

Chú ý. Vì các ánh xạ dãn và ánh xạ hạn chế thỏa mãn tính chất phổ dụng nên ta có các biểu đồ giao hoán

 

Mệnh đề 8. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn, $g$ là một nhóm con của $G$ và $A$ là một $G$-module. Ta có dãy khớp

\[H^{n}(G/g, A^{g})\xrightarrow{\text{Inf}} H^{n}(G, A)\xrightarrow{\text{Res}} H^{n}(g, A).\]

 

Chứng minh. Ta dễ dàng thấy rằng dãy này khớp từ tính chất hàm tử của $H^{*}$. $\square$

 

Mệnh đề 9. Giả sử $H$ là một nhóm con của $G$. Khi đó ánh xạ hợp

\[ \text{Cor}\circ \text{Res}: H^{r}(H, A)\to H^{r}(H, A)\]

chính là ánh xạ $[G:H]$. 

 

Chứng minh. Ta thấy rằng ánh xạ $\text{Cor}$ bậc $0$ chính là $a\mapsto (\sum g)a=[G:H]a$ nên tính phổ dụng của $\delta$-hàm tử đối đồng điều cho ta biết mở rộng của $\text{Cor}$ lên mọi bậc cũng chính là ánh xạ $[G:H]$. $\square$

 

Hệ quả 10. Ta có $mH^{r}(G, A)=0$ với mọi $r>0$ và $m=[G:1]$. 

 

Hệ quả 11. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và xét $G$-module $\mathbb{Q}$ cho bởi tác động tầm thường. Ta có $H^{r}(G, \mathbb{Q})=0$ với mọi $r>0$. 

 

Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương $n$, phép nhân $n:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ là một đẳng cấu. Do đó nó cảm sinh một đẳng cấu $n:H^{*}(G, \mathbb{Q})\to H^{*}(G, \mathbb{Q})$. Tuy nhiên với $n=[G:1]$, ta biết rằng ảnh của ánh xạ $n:H^{r}(G, \mathbb{Q})\to H^{r}(G, \mathbb{Q})$ là $\left\{0\right\}$. Do đó ta phải có $H^{r}(G, \mathbb{Q})=0$ với mọi $r>0$.  $\square$

 

4. Các đối đồng điều bậc cao và một số tính chất cơ bản của đối đồng điều (phần 1)

Ở các bài viết trên, anh Linh đã giới thiệu về đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của một nhóm và các ý nghĩa của chúng. Việc định nghĩa đối đồng điều thông qua các khái niệm như đối chu trình có ưu điểm là đơn giản và dễ tính toán, song trong các vấn đề tổng quát hóa hay nghiên cứu tính chất thì ta nên có một cách tiếp cận khác. Ở đây mình sẽ giới thiệu qua về đối đồng điều nói chung và các tính chất cơ bản của nó theo cách Grothendieck khởi xướng trong bài báo Tohoku năm 1957 (xem [1]). Những kiến thức liên quan có thể tham khảo trong cuốn sách của Weibel ([2]). Các tính chất quan trọng mà mình sẽ trình bày gồm có bổ đề Shapiro, định lý Hilbert 90, tính tuần hoàn của đối đồng điều của nhóm cyclic và định lý Tate-Nakayama. Bài này sẽ vừa viết vừa chỉnh sửa sao cho phù hợp với góp ý của mọi người nên mong mọi người góp ý.  

I. Khái niệm đối đồng điều. Bổ đề Shapiro và Định lý Hibert 90.

Nhắc lại ở trên rằng ta có khái niệm $G$-module là một nhóm abel $A$ cùng với tác động $G\times A\to A$ của $G$ lên $A$ giống như một tác động của vành lên module. Chẳng hạn, nếu $K/\mathbb{Q}$ là một mở rộng Galois thì $K$ là một $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$-module. Với $G$ là một nhóm và $A$ là một nhóm abel bất kỳ thì ta luôn có tác động tầm thường của $G$ lên $A$ cho bởi $g.a=a$. Đây là một ví dụ ta thường hay gặp khi $G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$... Ta có phạm trù $G$-Mod với các vật là các $G$-module và cấu xạ là các đồng cấu $G$-module. Chú ý rằng một $G$-module cũng có thể xem như một $\mathbb{Z}[G]$-module (theo nghĩa module trên một vành thông thường), và do đó ta có thể sử dụng các khái niệm trong lý thuyết module trên một vành cho các $G$-module (module tự do, xạ ảnh, nội xạ...)

Định nghĩa 1. Một $G$-module $I$ được gọi là nội xạ nếu $\text{Hom}_{G}(\bullet, I)$ là một hàm tử khớp.

Ta nói một phạm trù $\mathcal{C}$ là có đủ nội xạ nếu mọi vật đều có thể nhúng vào trong một vật nội xạ. Nói cách khác, ta có một dãy khớp

mà $I^{0}, I^{1}, \dots$ đều là nội xạ. Phạm trù $G$-Mod mà ta đang xét là một phạm trù có đủ nội xạ, như ta sẽ thấy dưới đây.

Định nghĩa 2 (Module cảm sinh). Một $G$-module $A$ được gọi là cảm sinh nếu nó có dạng $\mathbb{Z}[G]\otimes_{\mathbb{Z}}A_{0}$ với $A_{0}$ là một nhóm abel nào đó (tác động của $G$ lên $A_{0}$ là tác động tầm thường). Ta ký hiệu $A=\text{Ind}^{G}A_{0}$. 

[1]. Alexander Grothendieck. Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Mathematical Journal, 119-221, 1957. Có bản dịch tiếng Anh miễn phí trên Internet.

[2]. Charles A.Weibel. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994.

Trong một topic khác Nxb có giới thiệu bộ sách của Trần Đức Long. Mình không biết bộ này nhưng tin tưởng Nxb. Không biết vutuanhien thấy thế nào?

Em mới chỉ đọc qua 1 cuốn trong bộ này nhưng em thấy sách tập trung vào các chủ đề cơ bản và có nhiều bài tập tính toán, phù hợp với các bạn học các chuyên ngành ứng dụng ạ.