vutuanhien

Những con bot/AI gần đây đều có tình trạng chung như vậy. Bạn không nên tin tưởng vào chúng để kiểm chứng sự thật:

$$5!=120=6 \times 20 \vdots 6$$

 

Bạn đang nhầm lẫn về nội dung của định lý Wilson:

Với mọi số nguyên dương $p > 1$, $p$ là số nguyên tố khi và chỉ khi $(p-1)! + 1 \vdots p$.

Khi thế $p=4$ thì $(4-1)!+1 = 3!+1=7 \not \vdots 4$. Do đó $4$ không phải là số nguyên tố.

Đúng là có định lý như bạn ấy nói đấy anh ạ. Ta có $(n-1)!$ chia hết cho $n$ nếu $n$ là hợp số lớn hơn 4, cho nên bạn ấy thay $n=4$ vào thì không thỏa mãn
 

Chứng minh bao đóng của một tập bị chặn cũng là tập bị chặn.

Mình giả định là tập bị chặn trong một không gian metric bất kỳ để lời giải tổng quát nhất (nếu là $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ thì thay metric bởi $\left|\cdot\right|$). Gọi $A$ là một tập bị chặn trong $(X, d)$. Như vậy tồn tại $x_{0}\in A$ và $N>0$ sao cho $d(x, x_{0})<N$ với mọi $x\in A$. Xét $y\in \overline{A}$ bất kỳ. Dùng tính chất của bao đóng là mọi lân cận của $y$ đều giao $A$, tồn tại $x\in B_{1}(y)\cap A$. Khi đó 

$$d(y, x_{0})\le d(y, x)+d(x, x_{0})<1+N,$$

nên $\overline{A}$ là tập bị chặn. 

Bài toán này có thể giải đơn giản vì tích của hai số là lũy thừa của 10. Giả sử $2^{2023}$ có $m$ chữ số và $5^{2023}$ có $n$ chữ số thì $10^{m+n-2}<10^{2023}<10^{m+n}$ nên $m+n=2024$. 

Theo em bài này sử dụng Dirichlet mà 2 số cùng số dư thì cộng lại vẫn chưa chắc chia hết 

Gợi ý cho bạn: Gọi các số đã cho là $a_{1}$, $a_{2}$,..., $a_{1022}$ và xét các số $x_{1}=a_{1}$, $x_{2}=a_{1}+a_{2}$,..., $x_{1022}=a_{1}+a_{2}+...+a_{1022}$. Nếu tất cả 1022 số này đều không chia hết cho 1022 thì áp dụng nguyên lý Dirichlet ta có điều gì?

Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$

Khai triển chuỗi của $\sqrt{1-4x}=(1-4x)^{1/2}$ (hoặc sử dụng công thức Newton) là 

$$\sqrt{1-4x}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k-1}\binom{1/2}{k}(4x)^{k}.$$

Do đó hệ số của $x^{n}$ là $(-1)^{n}\frac{1}{2}\binom{1/2}{n+1}4^{n+1}=(-1)^{n}2^{2n+1}\binom{1/2}{n+1}$. Viết đầy đủ ra thì có lẽ hệ số sẽ có dạng $\pm \dfrac{1.3.5.7\dots}{2.4.6.8\dots}.2^{2n}$. 

Cho em hỏi: Trong sách ghi là, hàm số khả vi trên khoảng K thì khả vi tại mọi điểm trên K.

Nhưng định lí của sách lại ghi là:

Nếu $c=const$ và $f$ là hàm khả vi thì $(c.f(x))'=c.f'(x).$

Vậy hàm $f$ khả vi nghĩa là sao ạ ??? Là khả vi trên khoảng K nào đó hay là trên tập xác định của nó ạ ??? 

Khả vi là tính chất địa phương, tức là chỉ phụ thuộc vào một khoảng rất nhỏ xung quanh điểm $x$. Do đó ở công thức trên bạn không cần quan tâm đến việc nó khả vi trên một khoảng hay trên toàn bộ tập xác định, chỉ cần biết nó khả vi tại $x$ là được. Còn việc tác giả muốn nói $f$ khả vi trên đâu thì thuộc bối cảnh trong sách.  

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\prod_{k=1}^{n-1} \left(4\cos^2 \tfrac{k\pi}{n} + 1\right) = F_n^2,$$ trong đó $$\begin{cases} F_1 = F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \text{nếu } n \ge 3. \end{cases}$$

Đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành

$$F_{n}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Xét đa thức tổng quát $F_{n}(x)$ cho bởi

$$\begin{cases} F_{1}(x)= F_{2}(x)=1,\\ F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x). \end{cases}$$

Khi cho $x=1$ thì ta thu được dãy Fibonacci. Hơn nữa bậc của $F_{n}(x)$ là $n-1$. Ý tưởng là ta chứng minh 

$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Phương trình đặc trưng của dãy truy hồi này là $1-xt-t^{2}=0$ có 2 nghiệm là $t_{1}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$, $t_{2}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$. Từ đó ta có công thức tổng quát 

$$F_{n}(x)=\dfrac{t_{1}^{n}-t_{2}^{n}}{t_{1}-t_{2}}.$$

Thay $x=2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}$ vào ta có

$$t_{1}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}-\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{ik\pi/n},\quad t_{2}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}+\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{-ik\pi/n}.$$

Như vậy $F_{n}(\cos{\tfrac{k\pi}{n}})=\dfrac{(-i)^{n-1}\sin{k\pi}}{\sin{\frac{k\pi}{n}}}=0$, tức là 

$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Thay $x=1$ và bình phương hai vế ta có đẳng thức ở đề bài. $\square$

Nếu cảm thấy sách của Dummit-Foote viết hơi khó hiểu thì bạn có thể thử đọc cuốn của Joseph J. Rotman. Cuốn đó viết dài nhưng có rất nhiều ví dụ chi tiết, đặc biệt là phần tác động nhóm (quỹ đạo, định lý Cauchy, bổ đề Burnside...) và định lý Sylow. 

Chào mọi người. Mình cần tìm gia sư cho môn abstract algebra. Mình không hiểu lắm về phần group action (tác động nhóm) và định lý Sylow. Ngày 11 tháng 2 này mình thi nên mong có ai hiểu về 2 phần này có thể dạy cho mình ạ. Xin cám ơn rất nhiều!

Mình thấy bạn có vẻ cũng nắm vững được những kiến thức cơ bản của abstract algebra nên bạn có thể tự ôn phần này bằng cách đọc kỹ lý thuyết và thử làm các bài tập, ví dụ như trong Dummit-Foote. Phần định lý Sylow có kỹ thuật khá đặc trưng nên làm một vài bài là có thể bắt đầu nắm được. 

Đây là một bài giảng rất hay về định lý Sylow mà mình đọc hồi ĐH: sylowapp.pdf (uconn.edu). Bạn đọc kỹ 3 phát biểu chính và xem kỹ thuật sử dụng trong các ví dụ. Nếu có câu hỏi gì thì bạn có thể đưa lên diễn đàn. 

Ký hiệu $||x_i||^2_2$ có nghĩa là gì?
Trong đó $x_i$ là một vector

$\left \|  \right \|_{2}$ là chuẩn 2 của một vector. Nếu $y=(y_{1},\dots, y_{n})$ thì $\left \| y \right \|_{2}=\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots+y_{n}^{2}}$. Đây là độ dài "thông thường" của một vector vẫn hay được sử dụng.

em cũng vừa mới biết tỉnh em không tổ chức thi HSG cho khối 10 mà chỉ có 11,12 thôi ạ ,thế nên mọi năm các anh chị toàn thi vượt cấp .Bây giờ nếu muốn em lại phải ôn của cả lớp 11 nữa mà thời gian ko bt đủ hay ko .Mới lại năm nay thi của CT cũ mà bọn e lại học CT mới thành ra cứ loạn hết cả lên. các anh\chị có thể cho e xin lời khuyên nên làm thế nào được không ạ?

Nếu em đặt mục tiêu thi HSG cấp tỉnh/thành phố thì có thể tìm kiếm đề thi các năm trước xem cần phải học những kiến thức gì. Còn nếu muốn thi HSG quốc gia thì chương trình SGK không quan trọng lắm đâu, chủ yếu là tìm tài liệu tham khảo. Tất nhiên đây chỉ là lời khuyên trên khía cạnh thi cử, còn những điều quan trọng hơn thế thì anh Nesbit đã nói hết ở bên trên rồi: Sinh hoạt điều độ, cân bằng giữa cuộc sống và việc học, trải nghiệm và tìm kiếm thêm những niềm vui có ích khác bên cạnh Toán học. 

Anh check thì thấy đúng như vậy nhưng nhìn lại thấy cận dưới của em là $0$ nên mới hỏi lại để xác minh. Cách phân loại này anh cũng từng đọc trong sách nhưng không bao giờ nhớ nổi, và cũng không hiểu tại sao lại phân ra như vậy. Đối với anh thì hai kiểu này không có gì khác nhau, nhưng có thể anh bỏ sót điều gì đó chăng?

 

Đúng là nếu đổi cận thành $1$ thì kết quả ra rất đẹp khi đổi biến. Ví dụ này anh cũng có biết trước khi đăng bài.

 

Về ý tưởng để giải bài này, thì một cách tự nhiên ta sẽ cố gắng tìm $f$ sao cho $\int |f|$ không bị chặn, đồng thời $f$ đổi dấu liên tục trên $(0, 1]$ để hi vọng khi lấy tích phân của $f$ thì các khoảng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Ví dụ mà vutuanhien đưa ra ở trên cũng là một hàm đổi dấu liên tục như vậy. Nesbit tìm được một ví dụ khác như sau (với $n\ge 1$):

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right] \\
-\frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}\right] \end{cases}.\end{equation}

 

(Trên thực tế thì ví dụ trên không phải mình mò ra ngay mà được chọn ra từ một kết quả tổng quát hơn, mai sẽ đăng tiếp vì bây giờ phải off mất rồi.)

Lúc đầu em cũng có nghĩ đến các hàm $1/x^{\alpha}$ vì tích phân của các hàm này đã biết rõ sự hội tụ. Em cũng nghĩ phải cho $f$ đổi dấu, nhưng quả thật là không nghĩ đến ví dụ của anh vì nghĩ trong đầu rằng tích phân của $1/x$ không hội tụ chứ không nghĩ khi cho đổi dấu thì chúng sẽ triệt tiêu.

Định nghĩa loại 1 loại 2 chính xác là thế nào ấy em nhỉ? Tích phân ở trên có vẻ thuộc cả hai vì cận dưới cũng là limit nốt (hoặc có thể em nhầm $1$ thành $0$).

Vâng em viết nhầm ạ, phải là 1. Tích phân suy rộng loại I là tích phân có cận vô cùng, còn tích phân suy rộng loại II là tích phân trên khoảng hữu hạn mà hàm có điểm kỳ dị trên khoảng này ạ.

Nếu dùng phép đổi biến $t=1/x$ thì tích phân $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$ trở thành $\int_{0}^{1}\dfrac{\sin{(1/t)}}{t}dt$, nên có thể chọn $f(x)=\dfrac{\sin{(1/x)}}{x}$ cho câu hỏi ban đầu của anh. Một điều em thấy hơi lạ là trong các sách giải tích em đọc thì có rất ít ví dụ về tích phân suy rộng loại II.

Chứng minh tồn tại hàm số $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ khả tích trên $[a,1]$ với mọi $a>0$ sao cho

$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại.

Lâu ngày không động đến mấy cái này nên em cũng chưa nghĩ ra được phản ví dụ nào cho hội tụ có điều kiện kiểu này. Nếu là tính phân suy rộng loại I thì có ví dụ đó là $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$. Có lẽ bằng một phép đổi biến có thể đưa tích phân này về tính phân suy rộng loại 2.
 

Cho $X$ compact và $(f_n)_{n\ge 1}$ là một dãy các hàm số liên tục trên $X$, $f_n\to f$ trên $X$ với $f$ liên tục trên $X$, đồng thời $f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \forall x\in X,\forall n$. Chứng minh rằng $f\to f_n$ đều (converges uniformly) trên $X$.

 

Đây là một định lý khá quen thuộc trong giải tích, mình đang ôn lại vài kiến thức cũ nên tình cờ thấy nó. Cách chứng minh của mình khác với trong sách nên thấy có chút thú vị, đăng lên đây để anh em cùng thảo luận, tập chút thể dục đầu tuần cũng hay.

Em cũng rất tò mò về chứng minh của anh Nesbit. Ở đây chắc em trình bày lại chứng minh thuộc dạng kinh điển trong nhiều sách.

Xét $g_{n}=f_{n}-f$ thì ta vẫn có $g_{n}$ liên tục, đơn điệu trên $X$ và $g_{n}$ hội tụ điểm tới $0$. Với mỗi $\epsilon> 0$ xét tập $U_{n}=\left\{x\in X: g_{n}(x)<\epsilon\right\}$ thì $U_{n}$ mở trong $X$ vì $g_{n}$ liên tục, và hơn thế nữa ta có $U_{n}\subset U_{n+1}$ vì $g_{n}\ge g_{n+1}$. Ta lại có $g_{n}$ hội tụ (điểm) tới $0$ nên với mỗi $x\in X$ lại tồn tại $n$ để $g_{n}(x)< \epsilon$. Vì vậy $\left\{U_{n}\right\}$ là một phủ mở của $X$. Sử dụng tính chất compact của $X$ ta chọn ra được một phủ mở hữu hạn và gọi $k$ là chỉ số lớn nhất trong phủ mở này. Từ tính đơn điệu của $U_{n}$ bên trên ta phải có $X=U_{k}=U_{k+1}=...$. Như vậy $g_{n}(x)<\epsilon$ với mọi $x\in X$ và với mọi $n\ge k$, tức là $\|f_{n}(x)-f(x)\|<\epsilon$ với mọi $x\in X$ và $n\ge k$. Đây chính là định nghĩa của hội tụ đều.