Peter97

$\left\{\begin{matrix} (x +1)(y + 1)+1 =(x^{2} +x + 1)(y^{2} +y +1) & & \\ x^{3} +3x +(x^{3} -y +4 )\sqrt{x^{3} -y +1}=0 & & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:

Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y & & \\ y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 & & \end{matrix}\right.$

$(1)\Rightarrow 2x^{2} = 8y - 2y^{2} - 2xy - 2$

Thế vào (2) 

$y(x + y)^{2} = 8y - 2y^{2} - 2xy -2 + 7y + 2\Leftrightarrow y(x + y)^{2} = - 2y( x + y) + 15y$

$y = 0$ ko là nghiệm 

$\Rightarrow x + y = - 5 ; x + y= 3$

Từ đây rễ ràng giải tiêp

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1& & \\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y & & \end{matrix}\right.$

Biến đổi PT (1) ta dc$( x + y)^{2} + \frac{2xy}{x + y} - 2xy - 1 = 0\Leftrightarrow (x + y - 1)(x + y + 1) - 2xy(x + y - 1)= 0\Leftrightarrow (x + y - 1)(x + y + 1 - 2xy)= 0$

Thế vào (2) là ra 

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2& & \\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} & 2x + 1 - \frac{1}{xy} = \frac{2}{x} & \\ & 1 - xy - 2y = \frac{- 2}{y} &\\ \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 2x - \frac{2}{x} - \frac{1}{xy} = - 1 & \\ & 2y - \frac{2}{y} + xy = 1 & \end{matrix}\right.$

Đặt $x + y = a; xy = b \Rightarrow (b - 1)( 2a + b + 1)$ Từ đây rễ ràng suy ra x y

$2\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{2(2x^2-2x+1)}+2x(2x^3-4x^2+3x-1)\geq \frac{7}{4}$

ĐK :$0 \leq x\leq 1$

Đặt : $\sqrt{x( 1 - x)} = a( a\geq 0); \sqrt{2(2x^{2} - 2x + 1)} = b(b\geq 0)$

Để ý thấy $\frac{a^{2}b^{2}}{2} = - 2x^{4} + 4x^{3} - 3x^{2} + x = - x(2x^{3} - 4x^{2} + 3x - 1)$

Từ PT ban đầu $\Rightarrow 2a + b - a^{2}b^{2} - \frac{7}{4}\geq 0$ và $4a^{2} + b^{2} = 2$

Đặt $2a + b = u (u\geq 0); ab = v(v\geq 0) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} & u + v^{2} - \frac{7}{4} \geq 0 & \\ &u^{2} - 4v = 2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (u - 2)^{2}(u^{2} + 4u + 8)\leq 0\Rightarrow u = 2$

$u = 2\Rightarrow 2\sqrt{1(1 - x)} + \sqrt{2(2x^{2} - 2x + 1)} = 2$

Bằng pp đặt ẩn fu $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Ví dụ : $VT=7\geq \frac{19}{4}$

$VP=7\geq 0$ 

$VT = VP ?$

PT đúng là vô nghiệm nhưng phải cm , còn lập luận nt saj bét ! 

Bạn này nói đúng rùi. Muốn cm PT Kia Vô nghiệm ta chỉ cần b.đổi :$y ^{2} + y + 5 = 3\sqrt{2y - 1}\Leftrightarrow (2y - 1)^{2} + 4(2y - 1) - 12\sqrt{2y - 1} + 23 = 0\Leftrightarrow (2y - 1)^{2} + (2\sqrt{2y - 1} - 3)^{2} + 14 > 0 \Rightarrow (PTVN)$

$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}-6y-x=2 & & \\ x^{3}+y-3x=4 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 2(y^{3} + 3y - 2) - x + 2 = 0& \\ & (x^{3} - 3x - 2) + y - 2= 0& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 2(y - 2)(y + 1)^{2} - (x - 2)= 0 & \\ & (x - 2)(x + 1)^{2} + y - 2 = 0& \end{matrix}\right.$

Thế $x - 2 = 2(y - 2)(y + 1)^{2}$

Ta đc PT : $2(y - 2)(y + 1)^{2}(x + 1)^{2} + (y - 2)= 0\Leftrightarrow (y - 2)( 2(y + 1)^{2}(x + 1)^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow y = 2$

 $\Rightarrow x = 2 \Rightarrow (x ;y)= (2 ;2)$

$x^{3}+(3x^{2}-4x-4)\sqrt{x+1}\leq 0$

ĐK $x\geq - 1$

Đặt $\sqrt{x + 1}= a (a \geq 0)$ $\Rightarrow x = a^{2} - 1$

Ta đc BPT : $x^{3} + (3x^{2} - 4x - 4)a\leq 0\Leftrightarrow x^{3} + (3x^{2} - 4(a^{2} - 1) - 4)a \leq 0$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3x^{2}a - 4a^{3}\leq 0\Leftrightarrow (x - a)(x + 2a)^{2}\leq 0 \Leftrightarrow x \leq a$

$\Leftrightarrow x \leq \sqrt{x + 1}$. Đây là bpt dạng cơ bản bạn có thể giải tiếp

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}$+$\frac{1}{b^{3}(a+c)}$+$\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

Áp dụng Cauchy - Swarch ta có :

$A (a(b + c) + b(a + c) + c(a + b))\geq (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{2} = (\frac{ab + bc+ ac}{abc})^{2}= (ab + bc+ ac)^{2}$

$\Rightarrow A \geq \frac{(ab+ bc+ ac)^{2}}{2(ab+ bc+ ac)}=\frac{ab+ bc+ ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Như  vậy ra được 1 phương trình. còn 1 nữa để kiếm ẩn của AH(a,b) nữa bạn? 

Và cái công thức mình đưa ra lúc đầu có đúng không? 

Ta tính đc VTPT của AH và qua điểm A Đã biết suy ra PT AH. Dễ dàng suy ra PT BC mà bạn. Còn cái công thức đầu mình cũng chưa gặp bao giờ. Có lẽ fari hỏi E.Galois

Giúp mình vài bài này với: Cho a,b,c>0, CMR:

1/ $$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dễ thấy BĐT $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + ac+ bc$ luôn đúng

Áp dụng 

BĐT trên $\Leftrightarrow a^{8} + b^{8} + c^{8} \geq a^{2}b^{2}c^{2}(ab + ac + bc)$

Ta có:

$a^{8} + b^{8} + c^{8} \geq a^{4}b^{4} + b^{4}c^{4} + a^{4}c^{4} \geq a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{2}c^{4} + a^{4}b^{2}c^{2} \geq a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}(ab+ ac+ bc)$ 

cho $a, b, c> o$ và $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}\geq \frac{3}{2}$

Ta có $\sum \frac{a}{b^{3} + ab} = \sum \frac{1}{b} -\frac{b^{2}}{b^{3}+ ab} \geq \sum \frac{1}{b} - \frac{b^{2}}{2b^{2}\sqrt{a}}= \frac{1}{b} - \frac{1}{2\sqrt{a}}$

$-( \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{c}})\geq \sqrt{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )3}$

Đặt $\sqrt{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )3} = a$ $\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{a^{2}}{3}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{3} - \frac{a}{2} \geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a\geq 3$ (Đúng vì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}= 3$)

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-6x^{2}y+9xy^{2}-4y^{3}=0 & & \\ \sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2 & & \end{matrix}\right.$

Nhận thấy $y = 0, x = 0$ không là ngiêm của của hệ

Chia 2 vế của PT(1) cho $y^{3}$ ta đc $\frac{x^{3}}{y^{3}} - 6\frac{x^{2}}{y^{2}} + 9\frac{x}{y} - 4 = 0$

Ta tìm đc quan hệ là $x = y; x = 4y$

Với $x = y$

$\Rightarrow x = y = 2$

Với $x = 4y$

$\Rightarrow x = 4( 8 + \sqrt{60}) , y = 8 + \sqrt{60}$

Giải hệ phương trình sau:

 $\large \left\{\begin{matrix} x+y^{3}=2xy^{2}\\ x^{3}+y^{9}= 2xy^{4} \end{matrix}\right.$

Nhận thấy cặp nghiệm $(x;y) = (0;0)$ là nghiệm của hệ.

Xét $x\neq 0, y\neq 0$

Hệ trên $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\frac{x}{y} + y^{2} = 2xy & \\ &\frac{x^{3}}{y^{3}} + y^{6} = 2xy & \end{matrix}\right.$ (Chia 2 vế PT Thứ nhất cho $y$, PT Thứ hai cho $y^{3}$)

Đặt $\frac{x}{y} = a, y^{2}= b (b> 0)$ $\Rightarrow ab = xy$

Ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} &a + b = 2ab & \\ &a^{3} +b^{3}= 2ab & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &\frac{x}{y} + y^{2} = 2 & \\ & xy = 1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x;y) = (0;0)(1;1)(- 1;- 1)$ là nghiệm của hệ