zxc00

Bài toán 2:
$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^{2}\geq \sqrt{3\left ( 1+a^{2}+b^{2} \right )}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+a(\frac{1}{b}+b^{2})\geqslant \sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})} Bình phương 2 vế: \frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}})\geqslant b^{2}+3-\frac{2}{b} Mặt khác : b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}> 2b-3+\frac{1}{b^{2}}\geq 0 nên áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số ko âm: \frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}})\geq 2\sqrt{b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}}$$Bài toán quy về chứng minh 2\sqrt{b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}}\geq b^{2}+3-\frac{2}{b} \Rightarrow4(b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}) \geq (b^{2}+3-\frac{2}{b})^{2} \Leftrightarrow b(b^{2}-1)^{2}+4(b-1)^{2}\geq 0 (luôn đúng)
Dâu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=1$

1. Chứng minh rằng với mọi x, y >0 ta có $(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\geqslant 256$
2. Giải phương trình: $5\sqrt{x^{3}+1} = 2(x^{2}+2)$
3. Cho a, b>0 và $a+b\leqslant 1$. Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{ab} + 4ab$