mystery266

$2\sqrt{2}\left ( 1-cosxcos3x \right )= \frac{cos4x}{2cos^{2}\left ( x-\frac{3\pi }{8} \right )-1}$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\left ( 2-cos4x-cos2x \right )= \frac{cos4x}{cos( 2x-\frac{3\pi }{4})}$

$\Leftrightarrow  2-cos4x-cos2x = \frac{(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)}{sin2x-cos2x}$

$\Leftrightarrow 2-cos4x-cos2x= -cos2x-sin2x$

$\Leftrightarrow 1+2sin^{2}2x= -sin2x$

ngon rồi

Bài 1:gpt  $2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+2})(\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}+1)^2=0$

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

lượng giác hoá

đặt x=sin t

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\left (\frac{sin t+ cost}{\sqrt{2}} \right )^2}=cos2t$

$PT\Leftrightarrow\begin{vmatrix} cos(t-\frac{\pi}{4}) \end{vmatrix}=cos2t$

Phương trình lượng giác cơ bản

$sin^{10}x+cos^{10}x=1$

$sin^{10}{x}+cos^{10}{x}=sin^{2}{x}+cos^{2}{x}$

$\Leftrightarrow sin^{2}{x}(1-sin^{8}{x})+cos^{2}{x}(1-cos^{8}{x})=0$

$\left\{\begin{matrix} sin^{2}{x}(1-sin^{8}{x})\geq 0\\ cos^{2}{x}(1-cos^{8}{x})\geq 0 \end{matrix}\right.$

từ đó dấu bằng xảy ra  đến đây dễ rồi

bạn ơi mình muốn có cách khác!

Chiều theo yệu cầu của bạn sau đây là cách 2

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

$PT(1 )\Leftrightarrow\frac{5(x^2+1)}{x}=\frac{12(y^2+1)}{y}=\frac{13(z^2+1)}{z}$

thay  PT(2) vào PT trên

$\Leftrightarrow\frac{5(x^2+xy+yz+xz)}{x}=\frac{12(y^2+xy+yz+xz)}{y}=\frac{13(z^2+xy+yz+xz)}{z}$

$\Leftrightarrow\frac{5(x+z)(x+y)}{x}=\frac{12(y+x)(y+z)}{y}=\frac{13(z+x)(z+y)}{z}$

đến đây ngon rồi

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

Lượng giác hoá

đặt $x=tg\alpha , y=tg\beta ,z=tg\gamma$(0<$\alpha ,\beta ,\gamma$<90)

Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha })=12(tg\beta +\frac{1}{tg\beta })=13(tg\gamma +\frac{1}{tg\gamma }) \\ \\tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\gamma +tg\gamma tg\alpha =1 \end{matrix}\right.$

$Pt(2)\Leftrightarrow tg\gamma (tg\alpha +tg\beta )=1-tg\alpha tg\beta$

$\Leftrightarrow cotg\gamma =\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta}$

$\Leftrightarrow tg(\frac{\pi}{2}-\gamma )=tg(\alpha +\beta )$$\Leftrightarrow \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}$(nên $2 \alpha, 2\beta +2\gamma$ là 3 góc trong 1 tam giác

$Pt(1)\Leftrightarrow \frac{5}{sin2\alpha }=\frac{12}{sin2\beta }=\frac{13}{sin2\gamma }$

5,12, 13 là bộ 3 số PYthagore nên tam giác chứa 3 góc $2\alpha ,2\beta, 2\gamma$ là tam giác vuông nên $2\gamma =90\Rightarrow \gamma =45\Rightarrow z=1$

rồi thay vào  tìm x,y

nếu x,y,z là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm Từ đó kết luận

Giải các phương trình sau: 

1. $-x^{2}+3x+\sqrt[4]{2-x^{4}}-3=0$

2. $2x^{2}+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^{2}}=1$

2.  Lượng giác hoá

đặt $x=sin(t)$ 

PT$\Leftrightarrow 2 sin^2(t)+\sqrt{1-sin(t)}+ 2sin(t)\begin{vmatrix} cos(t) \end{vmatrix}=1$

xét 2 TH của  $cos(t)$

$\oplus \begin{vmatrix} cos(t) \end{vmatrix}=cos(t)$ (khi $0\leq cos(t)\leq 1$)

$PT\Leftrightarrow \sqrt{1-sin(t)}=cos(2t)-sin(2t)$

Bình phương 2 vế $\Leftrightarrow 1-sin(t)=1-2sin(2t)cos(2t)$

$\Leftrightarrow sin(t)=4sin(t)cos(t)cos(2t)$

$sin(t)=0\Rightarrow x=0$

$1=4 cos(t)(2cos^2(t)-1)$$\Leftrightarrow 8cos^3(t)-4cos(t)-1=0$(pt này có nghiệm đẹp)

TH còn lại tương tự 

Giải phương trình

$4x+3+2\sqrt{1-x^{2}}-4\sqrt{1+x}=0$

PT$\Leftrightarrow (4(x+1)-4\sqrt{x+1}+1)-(1-x-2\sqrt{1-x^2}+x+1)=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{x+1}-1)^2-(\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1})^2=0$

đến đây đơn giản rồi

Giải hệ

1.$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}=2&&\\\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}=2&&\end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} (2\sqrt{2x^2-y^2}=y^2-2x^2+3 &&\\ x^3-2y^3=y-2x &&\end{matrix}\right.$

(Bài này m giải pt (1) ra được rồi nhưng không thế vào pt (2) được)

3.$\left\{\begin{matrix} ((\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^2+3})x=y-3 &&\\ \sqrt{x^2+y}+\sqrt{x}=x+3 &&\end{matrix}\right.$

 

 

MOD: Chú ý tiêu đề bài viết bạn nhé

1)theo bất đẳng thức bunhiacopski

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}\leq \sqrt{2(2+x-y)}$$\Leftrightarrow y\leq x$

$\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}\leq \sqrt{2(2+y-x)}\Leftrightarrow x\leq y$

 dấu bằng xảy ra khi x=y thay vào hệ ban đầu 

2) PT(1)$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-y^2}-1)(\sqrt{2x^2-y^2}+3)=0$

$2x^2-y^2=1$ kết hợp với pt(2) ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-y^2=1\\ y-2x=x^3-2y^3 \end{matrix}\right.$

nhân vế theo vế  sễ ra pt đẳng cấp bậc 3 với x và y đã biết cách giải

3) nhân liên hợp cho pt(1)

PT(1)$\frac{(y-3)x}{\sqrt{x^2+y}-\sqrt{x^2+3}}=y-3$

y=3 thay vào pt (2) giải tiếp

$x=\sqrt{x^2+y}-\sqrt{x^2+3}$$\Rightarrow x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{x^2+y}$

thay $\sqrt{x^2+y}$ vào pt(2) giải tiếp

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 5(x^{2}+y^{2})+6xy+3x+y=0\\ 7(x+y)^{3}+2x^{3}+6xy^{2}+2=0 \end{matrix}\right.$

lời giải bài này khá đẹp và đơn giản

ta có hệ tương đương

$\left\{\begin{matrix} 4(x+y)^2+(x-y)^2+2(x+y)+(x-y)=0\\ 8(x+y)^3+(x-y)^3=-2 \end{matrix}\right.$

đặt a=2(x+y), b=x-y

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+a+b=0\\ a^3+b^3=-2 \end{matrix}\right.$

3PT(1)+PT(2)$\Leftrightarrow (a+1)^3+(b+1)^3=0$

$\Leftrightarrow a+b=-2$$\Leftrightarrow 3x+y=-2$

2

b) $4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

 

PT$\Leftrightarrow (\sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2)=0$ đến đây đơn giản rồi

Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^{2}}{4}.$

1 hướng khác

$PT\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}+2\sqrt{1-x}=4-\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (x+1-2\sqrt{x+1}+1)+(1-x-2\sqrt{1-x}+1)=\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)^2+(1-\sqrt{1-x})^2=\frac{x^2}{2}$

nhân liên hợp

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{x^2}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{x^2}{2}$

x=0 là 1 nghiệm

$ \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}\geq \frac{4}{(\sqrt{x+1}+1)^2+(1+\sqrt{1-x})^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{4}{4+2(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{1}{2}$

dấu bằng xảy ra ta có x=0 là nghiệm duy nhất

Giải phương trình:$\sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4x^2-3x$

chia 2 vế PT cho x

$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=4x-\frac{4}{x}-3$

$\Leftrightarrow 4t^3-t-3=0$

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+1}-3x^{2}y+2)(\sqrt{4y^{2}+1}+1)= 8x^{2}y^{3}\\ x^{2}y-x+2=0 \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{xy+y-x}{xy-y^{2}+1}=x^{2}\\ x^{2}-y\sqrt{y+\frac{1}{x}}=6y-1 \end{matrix}\right.$

 

____________
MOD: Gõ hệ thì không được xuống dòng nha.

 

PT(1)$\Leftrightarrow xy+y-x=x^2(xy-y^2+1)$

$\Leftrightarrow xy+y-x=x^2y(x-y)+x^2$

$\Leftrightarrow x^2y(x-y)+x(x-y)+x-y=0$

$\Rightarrow x=y\vee x^2y+x+1=0$

TH1 $x=y$ thay vào PT2

$PT(2)\Leftrightarrow x^2-x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=6x-1$\

chia 2 vế của PT cho  x 

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}-6=0$

TH2 $x^2y+x+1=0$ chia 2 vế cho $x^2$

$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}< 0$ (trái với ĐK nên ta loại)