Nguyen Huy Tuyen

Ngày thi 3

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

Bài 2: Tìm tất cả n nguyên dương sao cho $3^n+4^n+5^n\mid 60^n$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

Bài 4: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\sqrt{\frac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\frac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\frac{z^2x}{4z+5x}}$

Ngày thi 4

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1)f(y^2)=y(xy)-yf(y)$ 

Bài 2: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a_0=a_1=5\\ a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}+44 \end{matrix}\right.$

CMR: $a_n$ là tổng 2 số chính phương 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt đoạn $AC,AB$ tại $E,F$. $M,N$ đối xứng $B,C$ lần lượt qua $E,F$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(AMN)$ cắt $MN,BC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm của $PQ$

Bài 4: Cho bảng $n\times n$ $(n\in N^*)$ và số $k\leqslant n$ Điền vào các ô trong bảng $n\times n$ các số thực thuộc đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng các số trên mỗi bảng con $k\times k$ bằng $0$. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $n\times n$

Ngày 1

Bài 1: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$

Bài 2: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn : 

$2^x+11=19^y$

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$

Bài 4: Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.

Ngày 2

Bài 1: Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn  $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
       1. Chứng minh dãy  $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.

       2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$

Bài 2: Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn : 

$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$

Bài 4: Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng

 

$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$

Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.

Trường hợp sau không tương tự được đâu nha em. Em thử chứng minh xem

Hẳn là vậy, nhưng nó có thể dựa vào phần chứng minh trước ^^
Nếu $x\geqslant y\geqslant z$ Ta có :
$\sum \frac{x}{x+y}-\sum \frac{y}{x+y}=\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geqslant 0$
Suy ra $\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

Nếu $z\geqslant y\geqslant x$ Ta có:
$\sum \frac{x}{y}- 2\sum \frac{y}{x+y} =\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}+\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}$

Ta thấy $\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}\geqslant 0$
Đồng thời  $\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}=\frac{(z-x)(z-y)}{z(x+y)}+(y-x)(z(\frac{1}{x(y+z)}-\frac{1}{y(x+z)})+\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z})\geqslant 0$
( Vì $z\geqslant y\geqslant x$ )

Ta cần chứng minh 

         $(a^2+b^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có 

        $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)\geqslant \sum 2a^2b^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

        $2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a+b+c$

$\Leftrightarrow a+b+c+4abc\leqslant 2$

BĐT trên luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được $a+b+c\leqslant \frac{3}{2},abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$

Bài này còn dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} ,c=0$

Cho $m , n$ là hai số tự nhiên sao cho $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0$ . Chứng minh rằng $\sqrt{7}n - m > \frac{1}{m}$

Bài toán này khá được ( từng làm mình đau đầu ) 

Tuy nhiên mình thử chứng minh như sau 

Viết lại giả thiết là 

                                                                         $\sqrt{7}n>m$

Ta sẽ chứng minh 

                                                                         $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}$

Ta chứng minh bằng quy nạp bài toán này .

Ta chứng minh quy nạp theo $n$

Trước hết ta chứng minh trong các số tự nhiên nhỏ hơn $\sqrt{7}n$ mà $m=max$ đúng thì nó đúng với mọi $m$ không lớn hơn nó .$(1)$

Ta chứng minh $m+\frac{1}{m}>m-1+\frac{1}{m-1}$

Thế nhưng bất đẳng thức này đúng , vậy $(1)$ được chứng minh 

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng đến $n$ nào đó , ta chứng minh nó đúng với $n+1$ .

Nhân xét khi $n$ tăng $1$ đơn vị thì vế trái tăng $\sqrt{7}$ , mặt khác $2<\sqrt{7}<3$ nên ở đây $max=m+2$ 

Ta chứng minh :                                               $\sqrt{7}n+\sqrt{7}>m+2+\frac{1}{m+2}$

Nhưng theo giả thiết quy nạp ta đã có $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}>m+\frac{1}{m+2}$

Nên chỉ cần chứng minh $\sqrt{7}>2$ , hiển nhiên đúng 

Mình có cách này,m.n xem thế nào.

Theo giả thiết ta có:$7n^2>m^2$

vậy sẽ tồn tại số nguyên dương $x$ sao cho $7n^2=m^2+x$

Ta có $m^2$ chia 7 dư $0,1,2,4$ vậy $x$ chia 7 dư $0;6;5;3$

mà $x>0$ nên $Min(x)=3$ hay $7n^2\geqslant m^2+3>m^2+2+1/m^2=(m+1/m)^2$ 

suy ra $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Leftrightarrow \sqrt{7}n-m> \frac{1}{m}$

Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\geqslant 3$

BĐT tương đương với:
$\sum 2\sqrt{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)}\geqslant 3+ab+bc+ac$

Ta có:

$\sum 2\sqrt{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)}=\sum \sqrt{(a^2+(a-b)^2+b^2)(b^2+(c-b)^2+c^2)}\geqslant \sum \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}\geqslant \sum (ac+b^2)=3+ab+bc+ca$

Vậy BĐT được chứng minh.

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leqslant 3$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$. Ta có: 

$\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}-\frac{2}{bc-\sqrt{bc}+1}=\frac{bc-\sqrt{bc}-b^2+b}{(b^2-b+1)(bc-\sqrt{bc}+1)}+\frac{bc-\sqrt{bc}-c^2+c}{(c^2-c+1)(bc-\sqrt{bc}+1)}=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(b-c)(bc-b-c)}{(b^2-b+1)(c^2-c+1)(bc-\sqrt{bc}+1)}\leqslant 0$

Thay vào ta có: 

$\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leqslant \frac{1}{a^2-a+1}+\frac{2}{bc-\sqrt{bc}+1}=\frac{1+2a^2}{a^2-a+1}$

Khảo sát hàm số $f(a)=\frac{1+2a^2}{a^2-a+1}$ với $a\in [1;+\infty )$ ta được $dpcm$

Cho a, b là 2 số thực dương thoả mãn: $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$ 

Tìm GTNN của biểu thức $P=4(\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}) + 9(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}})$ 

 

Cái biểu thức điều kiện phức tạp quá mình không biết nên đi hướng ntn? Mong nhận được sự giúp đỡ ! 

Ta có:$2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$

       $\Leftrightarrow \frac{2(a^2+b^2)}{ab}+1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}(\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}})\geqslant 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}+2}$

Đặt $\frac{(a^2+b^2)}{ab}=x,(x>0)$ Ta có:$2x+1\geqslant 2\sqrt{2}\sqrt{x+2}\Leftrightarrow 4x^2+4x+1\geqslant 8x+16\Leftrightarrow (2x-5)(x+3)\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant \frac{5}{2}$

Ta có:$P=4x^3+9x^2-12x-18=(x-\frac{5}{2})(4x^2+19x+\frac{71}{2})+\frac{283}{4}\geqslant \frac{283}{4}$

Vậy $Min(P)=\frac{283}{4}$$\Leftrightarrow a=1,b=2$và hoán vị.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

 

$\frac{\sqrt{a+b}}{c}+\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}\geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Ta có:$\sum \frac{\sqrt{a+b}}{c}\geqslant \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)\sqrt{(b+c)(c+a)}}{c}\geqslant 4(a+b+c)$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có: $\sum \frac{(a+b)\sqrt{(b+c)(c+a)}}{c}\geqslant \sum \frac{(a+b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{c}}$

Ta lại có: $\sum \frac{(a+b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{c}}=(a+b+c)(\sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}})-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có: $(a+b+c)(\sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}})-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\geqslant 6(a+b+c)-2(a+b+c)=4(a+b+c)$

Vậy ta có $dpcm$ 

Ch0 $a,b,c>0$ và $abc=1$

Tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^5 (2b+3c)^2}+\frac{1}{b^5(2c+3a)^2}+\frac{1}{c^5(2a+3b)^2}$

Thay $abc=1$ vào ta có: $P=\sum \frac{1}{a^5 (2b+3c)^2}=\sum \frac{\frac{1}{a^3}}{(\frac{2}{c}+\frac{3}{b})^2}$

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có: $\sum \frac{\frac{1}{a^3}}{(\frac{2}{c}+\frac{3}{b})^2}\sum (\frac{2}{c}+\frac{3}{b})\sum (\frac{2}{c}+\frac{3}{b})\geqslant (\sum \frac{1}{a})^3$

                                                              $\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{1}{a^3}}{(\frac{2}{c}+\frac{3}{b})^2}\geqslant \frac{1}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

                                                              $\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{1}{a^3}}{(\frac{2}{c}+\frac{3}{b})^2}\geqslant \frac{3}{25}$

Vậy $Min(P)=\frac{3}{25}$$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ta có:$\frac{1}{8^x}+\frac{1}{8^x}+1\geqslant \frac{3}{4^x}$

Làm tương tự rồi cộng vào ta có:

 $2\left ( \frac{1}{8^{x}}+\frac{1}{27^{y-1}+}+\frac{1}{64^{z-2}} \right )+3\geqslant 3\left ( \frac{1}{4^{x}}+\frac{1}{9^{y-1}}+\frac{1}{16^{z-2}} \right)$

Vậy $Max(P)=3\Leftrightarrow x=0,y=1,z=2$

Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh:

$\left ( 8a^{2}+bc \right )\left ( 8b^{2} +ca\right )\left ( 8c^{2}+ab \right )\leq \left ( a+b+c \right )^{6}$

Đặt $a+b+c=1$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$. Đặt $f(a,b,c)=\left ( 8a^{2}+bc \right )\left ( 8b^{2} +ca\right )\left ( 8c^{2}+ab \right )$

Ta có:$f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)-f(a,b,c)=(2(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}c )^2( 8c^{2}+\frac{(a+b)^2}{4})-(8a^{2}+bc )( 8b^{2} +ca)( 8c^{2}+ab)$

Ta có:$(a+b)^2\geqslant 4ab\Leftrightarrow c^2+\frac{(a+b)^2}{4}\geqslant c^2+ab$

$(2(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}c )^2-(8a^{2}+bc )( 8b^{2} +ca)=(a-b)^2[(a+b)(4a+4b-6c)+8ab+\frac{c^2}{4}]\geqslant 0$

$\Rightarrow f(a+b+c)\leqslant f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)$

Thay $a+b=1-c$ vậy bài toán được đưa về một biến $c$ với điều kiện $0\leqslant c\leqslant \frac{1}{3}$

Đến đây bạn đọc tự chứng minh tiếp !

Good luck!

Tìm GTLN,GTNN của $\sum \frac{1}{a^{2}+5},biết 1\leq a,b,c\leq 2,và a+b+c=5$

Ta có:$(a-1)(a-2)\leqslant 0\Leftrightarrow a^2+2\leqslant 3a$

Làm tương tự rồi thay vào ta có:

$\sum \frac{1}{a^{2}+5}\leqslant \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a+1})$

Ta lại có:

$\frac{1}{a+1}-\frac{1}{2}+\frac{a-1}{6}=\frac{(2-a)(1-a)}{6(a+1)}\leqslant 0$

$\frac{1}{b+1}-\frac{1}{3}+\frac{b-2}{6}=\frac{(2-b)(1-b)}{6(b+1)}\leqslant 0$

$\frac{1}{c+1}-\frac{1}{3}+\frac{c-2}{6}=\frac{(2-c)(1-c)}{6(c+1)}\leqslant 0$

Thay vào ta có:

$\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a+1})\leqslant \frac{1}{3}(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{-a-b-c+5}{6})=\frac{7}{18}$

Vậy $Max(\sum \frac{1}{a^{2}+5})=\frac{7}{18}\Leftrightarrow a=1,b=c=2$ và các hoán vị

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn:

 

                             $\frac{2}{a^{2}+1}+\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{2}{c^{2}+1}\geq 3$

 

Chứng minh rằng: $(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}\geq 3$

$\frac{2}{a^{2}+1}+\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{2}{c^{2}+1}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{(1-a)(1+a)}{a^2+1}\geqslant 0$

$(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}-3=\sum (a-3)(a-1)$

Ta có :$\sum (a-3)(a-1)-\sum \frac{2(1-a)(1+a)}{a^2+1}=\sum \frac{(a-1)^4}{a^2+1}\geqslant 0$

           $\Leftrightarrow \sum (a-3)(a-1)\geqslant \sum \frac{2(1-a)(1+a)}{a^2+1}\geqslant 0$

           $\Leftrightarrow (a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}\geq 3$

Cho a,b,c là các số thực thoả $(a+b+c)^{3}-18(ab+bc+ca)\leq 6-(a+b+c)$.

Tìm GTLN của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3abc$.

Nhận xét:Ta thấy bài này nếu xét a,b,c<0 thì giá trị của P sẽ không có lớn nhất. Ví dụ:c=1 còn a,b=$-\infty$ thì giá trị của A tăng lên liên tục.Vậy ta xét với a,b,c thực dương.

$6-(a+b+c)\geqslant (a+b+c)^{3}-18(ab+bc+ca)\geqslant (a+b+c)^3-6(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow ((a+b+c)^2+1)(a+b+c-6)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b+c\leqslant 6$

Ta có:$9P=9(a+b+c)^2+27abc-18(ab+bc+ac)\leqslant 9(a+b+c)^2+27abc+6-(a+b+c)^3-(a+b+c)$

Đặt $a+b+c=x$ ta có:$9x^2+6-x-x^3\leqslant 114-x\Leftrightarrow (x-6)^2(x+3)\geqslant 0$ 

Thay vào ta có: $9P\leqslant 114+27abc-(a+b+c)$

Áp dụng BĐT $27abc\leqslant (a+b+c)^3\leqslant 36(a+b+c)$ Ta có:

$9P\leqslant 114+35(a+b+c)\leqslant 324$

$\Leftrightarrow P\leqslant 36$

Vậy$Max(P)=36\Leftrightarrow a=b=c=2$