Best Friend

Câu 3: Lựa chọn 1:

Ta có : Áp dụng BĐT Côsi

$\sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}$

$=\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+1+1}$

$\leq \sum \frac{1}{2a+2ab+2}= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ac+1} \right )$

$=\frac{1}{2}\left ( \frac{bc}{1+b+bc}+\frac{1}{1+bc+b}+\frac{b}{bc+1+b} \right )=\frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Đề Số 3

 

Câu 1: $a/$  Tính giá trị của biểu thức:           $P= x^{3}+y^{3}-3(x+y)+2004$

Với:$x=\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}+\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}$

 và $ y=\sqrt[3]{2-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{2+2\sqrt{2}}$

$b/$ Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $ 6x^{2}+10y^{2}+2xy-x-28y+18=0$

Cầu 2: $a/$ Giải phương trình:

$\sqrt[4]{4-x^{2}}-\sqrt[4]{x^{4}-16}+\sqrt{4x+1}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-2y-3}=5-y$

$b/$ Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+2(x+y)=11& \\ x^{2}y^{2}+2xy(x+y)+4xy=24 & \end{matrix}\right.$

Câu 3: a/

Lựa chọn 1:  Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

Lựa chọn 2:  Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=6$. Chứng minh:

$\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{a+c+4}{b+2}+\frac{b+a+3}{a+3}\geq 6$

b/ Tìm $n$ để $n+19$ và $n-20$ đồng thời là các só chính phương

Câu 4:  Tìm $a,b$ biết: $\left\{\begin{matrix} a+b=26 & \\ [a,b]=84& \end{matrix}\right.$

( Ký hiệu $[a,b]$ là $BCNN(a,b)$)

Câu 5:  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB<AC$ và $BC=5$. Tính góc $B$ biết bán kình đường tròn nội tiếp tam giác bằng $2$

* Dành cho những bạn chưa xem đến phần đường tròn:

Cho tam giác $ABC$ , phân giác $BD,CE$ cắt nhau tại $I$ thỏa mãn: $2.BI.CI=BD.CE$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông

 

 

 

Câu 4:

Đặt $(a,b)=d$ $d,a,b$ là các số nguyên dương $\Rightarrow a=da';b=db'$

Ta có HPT mới là $\left\{\begin{matrix} d(a'+b')=26 & & \\ d.a'.b'=84 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 84\vdots d,26\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $2$

Nếu $d=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a'+b'=13 & & \\ a'b'=42 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a=12;b=14$ và các hoán vị

Nếu $d=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=26 & & \\ ab=84 & & \end{matrix}\right.$

PT vô nghiệm 

Vậy  $a=12;b=14$ và các hoán vị

Câu 6:

a) 

C1:$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow a^{3}-ba^{2}+b^{3}-b^{2}a\geq 0 \Leftrightarrow a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0(q.e.d)$

C2: Áp dụng BĐT Cô si : $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)\geq (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)$

Như vậy là MSS2013 đã kết thúc tốt đẹp, trong lúc chờ BTC tổng kết, chúng ta sẽ bỏ phiếu bầu toán thủ nhỏ tuổi xuất sắc nhất.

Tiêu chuẩn: 

- Là toán thủ học lớp nhỏ nhất trong số các toán thủ từ thứ hạng thứ 5 trở đi (vì toán thủ hạng 4 bị loại)

- Toán thủ đó phải xuất sắc thực sự (theo cảm nhận của những toán thủ cùng chơi)

 

Hai toán thủ khonggiadinh và Nguyen Duc Thuan cùng là hai toán thủ nhỏ tuổi hơn vì cùng học lớp 8. Chúng ta hãy chọn 1 trong hai em này. Chỉ có các toán thủ có tên trong 11 toán thủ trên mới có quyền biểu quyết.

Thưa thầy, 2 bạn trên học cùng trường Lâm Thao , cùng lớp cả, có thành tích ko kém j nhau mấy. Ta có thể tặng cho cả 2 bạn cũng đc mà thầy cũng chỉ là 1 tờ giấy chứng nhận vs 1 phần quà lại đy bình chọn để chia rẽ nội tình của trường, tình bạn giữa 2 ng. Em chỉ có ý kiến tặng mỗi bạn 1 cái giấy chứng nhận chứ phần quà thì 2 bạn cũng ko cần lắm đâu    . Vì 2 bạn đều xứng đáng mà thầy  

Thầy cũng hỏi thử ý kiến 2 bạn Khonggiadinh vs NguyenDucThuan đi ạ 

Cách khác: 

Áp dụng BĐT Am-Gm:

Nhân cả 2 vế với $\sqrt{2}$ thì ta có : BDDT ms là $\frac{\sqrt{2x}}{y+1}+\frac{\sqrt{2y}}{x+1}\leq \frac{4}{3}$

Ta có : $\frac{\sqrt{2x}}{y+1}+\frac{\sqrt{2y}}{x+1}\leq \frac{x+\frac{1}{2}}{y+1}+\frac{y+\frac{1}{2}}{x+1}=2-\frac{1}{2y+2}-\frac{1}{2x+2}\leq 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$  Vì $x,y\leq \frac{1}{2}$

Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : $xyz=x^{2}-2z+2$

Bài 20: Tìm $x,y$ nguyên sao cho $54x^{3}+1=y^{3}$

Áp dụng BĐT Bunhia vào 2 dãy $\frac{x-1}{\sqrt{z}},\frac{y-1}{\sqrt{x}},\frac{z-1}{\sqrt{y}}vs\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$

Ta có : $\left (\sum \frac{(x-1)^{2}}{z} \right )\left ( \sum z \right )\geq \left ( \sum x-3 \right )^{2} \Rightarrow \sum \frac{(x-1)^{2}}{z}\geq \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM

Ta có : $P=\frac{\left (x+y \right )^{2}}{2}+\frac{x+y}{4}\geq 2xy+\frac{x+y}{4}=\left ( xy+\frac{x}{4} \right )+\left ( xy+\frac{y}{4} \right )\geq x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$

Đã sửa, thanks nha

 

 

Đề ôn luyện số 2

$\boxed{1}$

 

a) Giải phương trình :

$$6x^4+x^3+2=13x^2-2x$$    

 

b) Cho đa thức:

$$a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$$

Với hệ số nguyên, không âm và bé hơn $6$

 

c) Tìm $x$ để 

$$(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2$$

Đạt GTNN, tính giá trị đó

 

$\boxed{2}$.

a) Cho $a,b$ là các số tự nhiên thoả mãn $a^2+b^2\vdots 21$.

   Chứng minh $a^2+b^2\vdots 441$

 

b) Cho $A=n^{2012}+n^{2011}+1$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $a$ nhận giá trị nguyên tố.

 

$\boxed{3}$.

a) Cho $a,b,c$ là số thực đôi 1 khác nhau

Chứng minh: 

$$M=a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)\neq 0$$

 

b) Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Chứng minh $x^2+y^2+z^2\geq 3$

 

c) Cho $a,b,c > 0$ thoả mãn $a+b+c=3$

Tìm Min: 

$$P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$$

 

$\boxed{4}$

a) Cho $a,b\neq 0,a+b=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$

 

b) Cho $x,y,z >0$ thoả mãn

$$(x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)=32xyz$$

Tính $T=x^2+y^2+z^2$

 

 

 

2b) Ta có : $a=n^{2012}+n^{2011}+1=\left ( n^{2012}-n^{2} \right )+\left ( n^{2011}-n \right )+\left ( n^{2}+n+1 \right )=n^{2}\left ( n^{2010}-1 \right )+n\left ( n^{2010}-1 \right )+\left ( n^{2}+n+1 \right )=\left ( n^{2}+n+1 \right )\left ( A.n^{2}+B.n+1 \right )$ là số nguyên tố

$\Rightarrow \left ( n^{2}+n+1 \right )=1\Rightarrow n=0$

Sai rồi bạn ơi lỡ $y=0$ thì sao ?không xảy ra $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y$

Mình đã xét $xyz=0$ rồi mà thì PT vô nghiệm còn j

và $xyz\neq 0$

Bài 120 (hàng mới nhập  )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì x,y,z là các số tự nhiên.

Xét $xyz=0$ PT VN

Xét $xyz\neq 0$

Ta có : 

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1$ VN

@Dark: Mình góp ý chút nha

Tới chỗ suy ra $y=1$ suy ra $x^2z^6=2$

Xét 2 trường hợp: $x=1$ và $x>1$ 

TH1:  $x=1$ suy ra $z^6=2$ (Vô lý)

TH2: $x>1\Leftrightarrow x\geq 2\Leftrightarrow x^2\geq 4$ mà $z^6\geq 1$ nên $x^2z^6\geq 6>2$ (Vô nghiệm)

@Best: Thanks bạn, mik đã sửa rồi

Áp dụng BĐT Am-Gm

Ta có : $x+y+z=12\Rightarrow 6\geq \sum \sqrt{x}$

$\Rightarrow \frac{4}{3}\sum x\sqrt{x}+16\geq \frac{4}{3}\sum x\sqrt{x}+3\sum \sqrt{x}-2=\frac{4}{3}\sum \left ( \sqrt{x}\left ( x+4 \right ) \right )-\frac{7}{3}\sum \sqrt{x}-2\geq \frac{4}{3}\sum \left ( \sqrt{x}.4\sqrt{x} \right )-\frac{7}{3}.6-2= \frac{16}{3}\sum x-14-2=48$

mà $xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )^{2}=48$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z$

Áp dụng BĐT Bunhia vs 2 dãy $\frac{a}{\sqrt{a+b}},\frac{b}{\sqrt{b+c}},\frac{c}{\sqrt{a+c}}$ và $\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{a+c}$

là xong

Xét dấu hiệu chia hết cho 8. Ta có A chia 8 dư 7 nên A ko là scp