tranducmanh2308

a) $\frac{sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }=sin \alpha -cos\alpha$

b)$sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3(sin^{2}\alpha )\times cos^{2}=1$

Bài 2:

Cho $\Delta ABC có 3 góc nhọn , AH là đường cao

cm $AH=\frac{BC}{cot\widehat{B}+cot\widehat{C}}$

1b

$sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha =(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )(sin^{4}\alpha -sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha )+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha=sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha=(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )^{2}=1$

a) $\frac{sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }=sin \alpha -cos\alpha$

b)$sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3(sin^{2}\alpha )\times cos^{2}=1$

Bài 2:

Cho $\Delta ABC có 3 góc nhọn , AH là đường cao

cm $AH=\frac{BC}{cot\widehat{B}+cot\widehat{C}}$

1a

$sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha =(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )(sin^{2}\alpha -cos^{2}\alpha )=(sin\alpha +cos\alpha )(sin\alpha-cos\alpha )$ (đpcm)

ta cần chứng minh $b+c\geq ab$

$\Leftrightarrow \frac{b+c}{b}\geq a$

$\Leftrightarrow 1+\frac{c}{b}\geq a$ đúng do a,b,c không âm và a+b+c=1

$a=\sqrt{17}-1$

$\Leftrightarrow a^{2}+2a-16=0$thay vô là xong

Các bạn cho mình hỏi một chút nhé,cảm ơn các bạn 

1,Cmr:Nếu x/a + y/b + z/c = 1 ; a/x+b/y+c/z = 0 

thì x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1

2,cho a,b,c,x,y,z 

x^2 khac yz,y^2 khac xz, z^2 khac xy

va (x^2 - yz)/a=(y^2-xz)/b=(z^2-xy)/c

thì (a^2-bc)/x = ( b^2-ca)/y = (c^2 - ab)/z

và az+bx+cy=0

Cảm ơn các bạn

1,

$(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}+2\times (\frac{cxy+ayz+bzc}{abc})$(1)

mà $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Leftrightarrow ayz+bzc+cxy=0$ thay vào (1)

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1^{2}=1$

tìm số tự nhiên n để $3^{n}+1$ là số chính phương

đây là min

$\left ( x-y \right )^{2}+\left ( y-z \right )^{2}+\left ( z-t \right )^{2}+\left ( t-x \right )\geq \frac{\left ( x-y+y-z+z-t+t-x \right )^{2}}{4}= 0$

vậy min=0

dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=t$

a,b,c,d khác nhau nên tổng đó phải lớn hơn 0 chứ => Min ko thể =0

2b)dùng câu a) và t/c $cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1$

1. Chứng minh hệ thức:

a) 1+$tg^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha }$

b) $cotg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =cotg^{2}\alpha . cos^{2}\alpha$

c) $\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{sin\alpha }{1-cos\alpha }$

2. Cho tam giác nhọn ABC. 2 đường cao BD và CE. Chứng minh:

a) $S(ADE)=S(ABC).cos^{2}\alpha$

b)$S(BCDE)= S(ABC).sin^{2}\alpha$

c)nhân chéo rùi dùng tính chất $cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1$

1. Chứng minh hệ thức:

a) 1+$tg^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha }$

b) $cotg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =cotg^{2}\alpha . cos^{2}\alpha$

c) $\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{sin\alpha }{1-cos\alpha }$

2. Cho tam giác nhọn ABC. 2 đường cao BD và CE. Chứng minh:

a) $S(ADE)=S(ABC).cos^{2}\alpha$

b)$S(BCDE)= S(ABC).sin^{2}\alpha$

b)chia cả 2 vế cho $cos^{2}\alpha$

$\Leftrightarrow \frac{cot^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha }-1=cot^{2}\alpha$

$\Leftrightarrow \frac{1}{sin^{2}\alpha }-1=\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }$

(đúng do $cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1$)

1. Chứng minh hệ thức:

a) 1+$tg^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha }$

b) $cotg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =cotg^{2}\alpha . cos^{2}\alpha$

c) $\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{sin\alpha }{1-cos\alpha }$

2. Cho tam giác nhọn ABC. 2 đường cao BD và CE. Chứng minh:

a) $S(ADE)=S(ABC).cos^{2}\alpha$

b)$S(BCDE)= S(ABC).sin^{2}\alpha$

1)a)

VT=$1+\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }$

VP=$\frac{cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=1+\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }$

=>VP=VT

Bình phương 2 vế $\Rightarrow 2x+2\sqrt{x^{2}-\left ( x^{2}-1 \right )^2}=x^2+x+2\Rightarrow 2\sqrt{x^2-\left ( x^2-1 \right )^2}=x^2+2-x\Rightarrow 4x^2-4\left ( x^2-1 \right )^2=x^4+4+x^2+4x^2-2x^3-4x\Rightarrow -\left ( x^{2}-1 \right )^2=x^{4}+4+x^{2}-4x-2x^{3}\geq 0\Rightarrow x=1$

Vì $\left\{\begin{matrix} -x^{2}+x+1\geq 0 & & \\ x^{2}+x-1\geq 0 & & \end{matrix}\right.$ Tìm đc điều kiện

vì cái đỏ sai

Một số tự nhiên luôn có thể biểu diễn được dưới dạng tích của các số nguyên tố. CMR cách biểu diễn này là duy nhất (các trường hợp đổi chỗ các số được coi là giống nhau)

 

Mình nghĩ ra một cách chứng minh cho trường hợp này, nhờ mọi người xem giúp có sai sót chỗ nào ko. Cám ơn!

_______

 

Giả sử số tự nhiên N có hai cách biểu diễn: $N=p_1 . p_2 .  ... p_n = q_1 . q_2 . ... . q_m$.

Nghĩa là tồn tại số nguyên tố trong một cách biểu diễn không xuất hiện trong cách biểu diễn còn lại. Không mất tính tổng quát, giả sử $p_n$ khác tất cả các số $q_1, q_2, ..., q_m$

 

Ta có: $(p_1 . p_2 .  ... p_{n-1} ) . p_n = q_1 . q_2 . ... . q_m$

-> $p_n$ là ước của $q_1 . q_2 . ... . q_m$ 

-> Ít nhất một trong các số  $q_1, q_2, ..., q_m$ chia hết cho $p_n$. Điều này là vô lý vì các số  $q_1, q_2, ..., q_m$ đều là những số nguyên tố. Do vậy giả sử sai, đồng nghĩa với biểu diễn dưới dạng tích các số nguyên tố của một số tự nhiên là duy nhất

bạn làm đúng nhưng nếu muốn chặt chẽ hơn thì nên nói các số nguyên tố thì nguyên tố cung nhau(ko có cũng được)

$ab$ chia hết cho gì bạn 

ab$\vdots$ mọi số nguyên tố $\leq \sqrt{n}$

Tìm tất cả các số $n\in \mathbb{N}$,$n> 0$ sao cho $n=a^{2}+b^{2}(a,b\in \mathbb{N};a,b>0;(a,b)=1;ab\vdots$ mọi số nguyên tố$\leq \sqrt{n}$ )