pdtienArsFC

Còn phần này nữa . Cm như thế nào

Vì $\sqrt{4x^2+4x+4}=\sqrt{(2x+1)^2+3}\geq \sqrt{3}$ nên

$\sqrt{4x^2+4x+4}+\sqrt{4x^2+5x+1}\geq \sqrt{3}>1$

Vậy TH này vô nghiệm.

Không hiểu sao bài này lại có trong đề PBC 11-12: ??? Chẳng lẽ ra 1 bài toán 2 lần sao???

Thế mak tớ lại bó tay, sao lại đen thế chứ@@@@@@@@@@

a)

Ta có $\varphi^{100000}=4000$

Do $(2013,10^5)=1$ nên theo đinh lý Euler thì 

$2013^{4000}\equiv 1(mod 10^5)$

Do đó với mọi số $k$ có dạng $4000m(m\in \mathbb{N})$ thì $2013^k-1\vdots 10^5\Rightarrow$ đpcm

b) Đặt $x^2+28=m^2$ vs $m\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow 28=(m-x)(m+x)$

Kết hợp vs $m-x,m+x$ cùng tính chẵn lẻ để tìm ra $x$

1a, Đề bài yêu cầu c/m sự tồn tại:

Ta thấy: k=0 thì $2013^{k}-1$=0 chia hết cho $10^5$.

XONG

Mình xin đóng góp ít bài  .

106) Cho a,b>0. Cmr: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

107) Cho a,b,c>0 t/m: abc=1. Cmr: $a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

108) Cho a,b,c>0 t/m: $a^2+2b^2\leq 3c^2. Cmr: \frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

109) Cho a,b,c>0 t/m: $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

CMR: $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

110) Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Cmr: $a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn: $\frac{a+b}{c}$, $\frac{b+c}{a}$, $\frac{c+a}{b}$ đều là các số nguyên dương.

CMR: $\sum \frac{a+b}{c}\leq 8$

Bài làm của MSS43:

Ta có HPT: $\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=0(1) & \\ 4x^2-6x+1=y^2-3y(2) & \end{matrix}\right.$

Xét $x= 0$.

Thay x=0 vào (1) ta được y=0.

Thay x=y=0 vào (2) ta thấy 0+1=0(Vô lý)

Vậy x=y=0 không phải là nghiệm của HPT.

Xét $x\neq 0$.

Từ (1), ta có:

$8x^2+12y^2-20xy=0$

$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0(3)$.

Chia 2 vế của (3) cho $x^2$, ta được:

$2+3\frac{y^2}{x^2}-5\frac{y}{x}=0$

Đặt $\frac{y}{x}=t(t\neq 0)$, ta có:

$3t^2-5t+2=0$

$\Leftrightarrow (3t-2)(t-1)=0$

Vậy $t=\frac{2}{3}$ hoặc $t=1$

hay $y=\frac{2}{3}x$ hoặc y=x.

TH1: $y=\frac{2}{3}x$.

Thay $y=\frac{2}{3}x$ vào (2) ta có:

$\frac{32}{9}x^2-4x+1=0$

$\Leftrightarrow (4x-3)(8x-3)=0$

Vậy   $x=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$

hoặc $x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{1}{4}$.

TH2: y=x.

Thay y=x vào (2) ta có:

$3x^2-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}=0$ ( Vô lý)

Vậy nghiệm của HPT là $(x;y)\epsilon \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2}),(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$.

 

 

Mở rộng: PT(1) của HPT trên là PT đẳng cấp bậc 2. Với dạng tổng quát của PT đẳng cấp bậc 2, ta giải như sau:

Ta có: $ax^2+by^2+cxy=0$ (1)

Xét x=0. Từ đó suy ra y=0. Từ đó thay x=y=0 vào PT còn lại xem x=y=0 có phải là nghiệm của HPT không.

Xét $x\neq 0$.

Chia 2 vế của (1) cho $x^2$, ta được:

$(1)\Leftrightarrow a+b\frac{y^2}{x^2}+c\frac{y}{x}=0$

Đặt $\frac{y}{x}=t(t\neq 0)$.

Ta có: $bt^2+ct+a=0$.

Xét $\Delta =c^2-4ab$.

Sử dụng công thức nghiệm bậc 2, ta có:

$t=\frac{-c+\sqrt{\Delta }}{2b}$

hoặc $t=\frac{-c-\sqrt{\Delta }}{2b}$.

Từ đó rút x qua y và thế vào PT còn lại để tìm nghiệm của HPT.

_____________________________________
Trình bày hơi lê thê...

Mở rộng không chấp nhận

$d = 8$

$S =37$

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH(VÒNG 3)

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi : Toán 9

Thời gian làm bài: 150 phút

 

Câu 1:(4.0 điểm)

a, Tìm số $\overline{ab}$ biết $\overline{ab}=(a-1)^2+(b-1)^2$.

b, Cho $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó a,b,c,d là hằng số.

Biết f(1)=2014, f(2)=4028, f(3)=6042. Tính f(5)+f(-1).

Câu 2:(4.0 điểm) Giải phương trình:

a, $(x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)=32xyz$ với x,y,z là các số dương.

b,$\frac{2x}{2x^2-5x+3}+\frac{13x}{2x^2+x+3}=6$.

Câu 3:(4.0 điểm)

a, Cho x,y,z là các số thực nghiệm đúng phương trình $x^n+y^n=z^n$.(n nguyên dương, $z\neq 0$). Chứng minh rằng $(\frac{xy}{z})^n\leq \frac{1}{4}$.

b, Cho $x\neq 0,y\neq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$f(x,y)=3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})-8(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+10$.

Câu 4:(6.0 điểm)

Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB và MA<MB. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại D và H.

a, Chứng minh CA=CH

b, Gọi E,F là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (O).

Chứng minh E;M;F thẳng hàng.

c, Gọi $S_{1},S_{2}$ là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF.

Chứng minh $CM^{2}<\sqrt{S_{1}.S_{2}}$.

Câu 5:(2.0 điểm)

Cho hệ $\left\{\begin{matrix} x^2+z^2=9 & \\ y^2+t^2=16 & \\ xt+yz\geq 12 & \end{matrix}\right.$.

Tìm trong tập các nghiệm của hệ trên bộ số $(x_{0},y_{0},z_{0},t_{0})$ sao cho tổng $x_{0}+y_{0}$ đạt giá trị lớn nhất

 

P/S:

Câu 3 hình như sai đề thì phải, nhờ các bạn giúp

Bạn nào làm nhanh câu 1b đối chiếu đáp án cái nhé( Không có máy tính mà    )

 

EM SPAM chút:

Trước khi đi thi 1 ngày, thầy ra cho câu này:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), H là trực tâm của tam giác. Chứng minh $HA+HB+HC\leq 3R$.

Vào thi nhìn đề tưởng trúng đề, làm phát câu 4c, cuối cùng hóa ra thầy lừa.

SAO THẦY CÓ THỂ!!!!!!!!!!!!!    

Em làm nốt câu BĐT:

Ta có: $4y^2+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{4y^2}=4\sqrt{2y}$

           $\Rightarrow A+3\geq x^2+10y^2+10z^2$

                                             $=x^2+4y^2+4z^2+6(y^2+z^2)$

                                             $\geq x^2+4y^2+4z^2+12yz$.

          $\Leftrightarrow A+3-9\geq x^2+4y^2+4z^2+12yz-(4xy+4xz+4yz)$

          $\Leftrightarrow A-6\geq (x-2y-2z)^{2}\geq 0$

          $\Leftrightarrow A\geq 6$.

Dấu = xảy ra khi x=2, y=z=1/2    

Đề chính thức                                                                                            Thời gian: 120 phút.

Câu 1:

a, Cho 3 số nguyên x,y,z thỏa mãn $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$.

Chứng minh x+y+z chia hết cho 27.

b, Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn: $a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}$.

Tính $M=a^{2013}+b^{2013}$.

Câu 2:GPT

a, $4\sqrt{x^3-1}=x^2+4x-2$.

b, $x+y+z=xy-\frac{z^2}{2}=2$.

Câu 3:

a, Cho a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$.

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^2+\frac{1}{x^2+3}+2013$

Câu 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R), dây BC cố định. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại G, GA cắt (O;R) tại M.

a, Chứng minh A,M,E,F nội tiếp

b, Chứng minh MH luôn đi qua 1 điểm cố định khi A thay đổi.

c, Tìm vị trí của A để HA+HB+HC đạt MAX.

 

P/s: Đề này em đen chết. Còn câu 4b,c, không biết được đi thi tỉnh ko nữa...

 

 

spam chút nhé(mong tha thứ): Ai giải dùm bài 4 cái, tớ không hiểu đề lắm, Thầy giao đề về nhà làm mai nộp rồi. Mong các bạn giúp đỡ.

Bài 3: Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq \sum a^2+\frac{\sum ab}{\frac{(\sum a)(\sum a^2)}{3}}=\sum a^2+\frac{\sum ab}{\sum a^2}=\sum a^2+\frac{(\sum a)^2-\sum a^2}{2\sum a^2}=\sum a^2+\frac{9}{2\sum a^2}-\frac{1}{2}$

Cho tớ hỏi là làm sao chứng minh được $(\sum a)(\sum ab)\geq 3(\sum a^2b)$.

P/s: Em sử dụng Trêbưsep nhưng không được, ko biết sử dụng gì nhỉ????

Đề kiểm tra điều kiện                                                          Thời gian: 90 phút.

Bài 1: 

a, Cho S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2). Chứng minh 4S+1 là số chính phương.

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$F=\frac{8\sqrt{x}-2}{2x+1}+\frac{18\sqrt{x}-6}{3x+1}$.

Bài 2: GPT và GHPT (dễ nên tớ không đưa vào mong mọi người thông cảm)

Bài 3:

a, Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm Min $P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$.

b, Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b\neq 0$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\geq 2$.

Bài 4:

Cho đường tròn (O;R) và dây AB cố định. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm P thay đổi khác A và B. Qua A và P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Qua B và P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại điểm thứ 2 là M.

a, C/m: O,M,C,D cùng thuộc 1 đường tròn.

b, Khi M thay đổi. Chứng minh M thuộc 1 đường cố định.

c, Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB. Chứng minh MP luôn đi qua 1 điểm cố định.

 

 

Đề chính thức          

1. a, Với mỗi số k nguyên dương, đặt:

$S_{k}=(\sqrt{2}-1)^k+(\sqrt{2}+1)^k$

C/m: Với mọi số nguyên dương m,n (m>n) thì:

$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}$

b, Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a và b trong 3 số $\left | f(0) \right |,\left | f(1) \right |,\left | f(-1) \right |$ có ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

2. GPT:

a, $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$.

b, $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$.

3. Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ có a+b+c=3. Chứng mịnh $a^2+b^2+c^2\leq 5$.

4. Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A, đường cao AH. Gọi M,N là trung điểm của AH,CH.

a, C/m: BM vuông góc AN.

b, Gọi giao điểm của BM và AC là I. Tính $tan\widehat{ABI}$

c, Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho $BK=\frac{1}{2}BA$. Chứng minh: $\widehat{INK}=90^{0}$

5. Chi tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D sao cho CD=2.BD. So sánh $\widehat{BAD}$ và $\frac{1}{2}\widehat{CAD}$.                                                                         

Đề chính thức          

1. a, Với mỗi số k nguyên dương, đặt:

$S_{k}=(\sqrt{2}-1)^k+(\sqrt{2}+1)^k$

C/m: Với mọi số nguyên dương m,n (m>n) thì:

$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}$

b, Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a và b trong 3 số $\left | f(0) \right |,\left | f(1) \right |,\left | f(-1) \right |$ có ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

2. GPT:

a, $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$.

b, $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$.

3. Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ có a+b+c=3. Chứng mịnh $a^2+b^2+c^2\leq 5$.

4. Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A, đường cao AH. Gọi M,N là trung điểm của AH,CH.

a, C/m: BM vuông góc AN.

b, Gọi giao điểm của BM và AC là I. Tính $tan\widehat{ABI}$

c, Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho $BK=\frac{1}{2}BA$. Chứng minh: $\widehat{INK}=90^{0}$

5. Chi tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D sao cho CD=2.BD. So sánh $\widehat{BAD}$ và $\frac{1}{2}\widehat{CAD}$.