chanhquocnghiem

Có 2 cái hộp, hộp thứ nhất có 6
bi trắng, 21 bi đen. Hộp thứ 2 có 20 bi
trắng và 7 bi đen. Từ mỗi hộp lấy ra 1
viên bị, các viên bi còn lại trong 2 hộp
được dồn về hộp thứ 3. Từ hộp thứ 3
lấy ra 2 viên bi. Tính xác suất để có được 2
viên bi cùng màu.

Gọi M1,M2 là biến cố (bc) bi lấy ra từ l lần lượt là bi trắng, bi đen

N1,N2 là bc bi lấy ra từ ll lần lượt là bi trắng, bi đen.

Q là bc 2 bi lấy ra từ lll cùng màu.

R1 là bc M1 và N1 cùng xảy ra --> P(R1) = (6/27).(20/27) = 40/243 (khi đó lll có 24T,28Đ)

R2 là bc M2 và N1 hoặc M1 và N2 cùng xảy ra --> P(R2) = (21/27).(20/27)+(6/27).(7/27) = 154/243

R3 là bc M2 và N2 cùng xảy ra --> P(R3) = (21/27).(7/27) = 49/243 (khi đó lll có 26T,26Đ)

P(Q/R1) = $\frac{C_{24}^{2}+C_{28}^{2}}{C_{52}^{2}}=\frac{109}{221}$

P(Q/R2) = $\frac{C_{25}^{2}+C_{27}^{2}}{C_{52}^{2}}= \frac{217}{442}$

P(Q/R3) = $\frac{C_{26}^{2}+C_{26}^{2}}{C_{52}^{2}}= \frac{25}{51}$

--> XS cần tính là $P(Q)=P(R1).P(Q/R1)+P(R2).P(Q/R2)+P(R3).P(Q/R3)=\frac{40}{243}.\frac{109}{221}+\frac{154}{243}.\frac{217}{442}+\frac{49}{243}.\frac{25}{51}=\frac{79132}{161109}$

B1_Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{n}^{0}+\frac{2}{2}C_{n}^{1}+\frac{2^{2}}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^{n}}{n+1}C_{n}^{n}=\frac{121}{n+1}$

 

B2_Có 3 người đàn ông và 2 người đàn bà cùng vào thang máy tầng 1 của tòa nhà 10 tầng, họ đi ra từ tầng 2 đến tầng 10. Tính xác suất để có đúng 1 người đàn ông và 1 người đàn bà cùng ra 1 tầng.

1)

Số hạng tổng quát của VT là $\frac{2^k}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{1}{2(n+1)}.C_{n+1}^{k+1}.2^{k+1}$

Do đó tổng ở VT bằng $\frac{1}{2(n+1)}.(3^{n+1}-1)$

Suy ra $3^{n+1}=2.121+1=243$ ---> $n=4$

 

2)

Mỗi người có 9 lựa chọn ---> số phần tử không gian mẫu là $9^5 = 59049$

Gọi M là biến cố có đúng 1 nam và 1 nữ cùng ra 1 tầng.

N là bc có 1 nam và 1 nữ cùng ra 1 tầng đồng thời lại có 1 nam và 1 nữ cùng ra 1 tầng khác

 

Chọn 1 nam và 1 nữ trong 5 người : có $3.2 = 6$ cách (gọi là nhóm l)

Chọn 1 nam và 1 nữ từ 3 người còn lại : có $2.1 = 2$ cách (gọi là nhóm ll)

Xếp 2 nhóm vào 2 trong 9 tầng : có $9A2 = 72$ cách

Xếp người còn lại vào 1 trong 7 tầng còn lại : $7$ cách

---> n(N) = $6.2.72.7 = 6048$

---> n(M) = $6.9.8^3 - 6048 = 21600$

---> XS cần tính là $P(M)= \frac{21600}{59049}= \frac{800}{2187}$

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia.

Chia 10 bạn ấy thành 2 nhóm : nhóm l có 6 người, nhóm ll có 4 người : có $10C6 = 210$ cách chia

Xếp nhóm l vào bàn 6 người : có $5! = 120$ cách

Xếp nhóm ll vào bàn 4 người : có $3! = 6$ cách

---> Số cách sắp xếp là $10C6.5!.3! = 210.120.6 = 151200$ cách.

          Một hộp chứa 8 quả cầu xanh, 4 quả cầu vàng, 6 quả cầu đỏ cùng kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 6 quả cầu. Tính xác suất để: 

           a. Có đúng 2 quả cầu cùng màu mỗi loại 

           b. Có đúng 2 quả cầu vàng

           c. Có ít nhất 2 quả cầu đỏ.

           d. Có đủ 3 màu. 

Số cách chọn 6 quả cầu từ 18 quả cầu là $18C6$

 

a) 

Gọi A là biến cố (bc) trong 6 quả cầu lấy ra có đúng 2 quả cùng màu mỗi loại

n(A) = $8C2.4C2.6C2$ --> $P(A)= \frac{8C2.4C2.6C2}{18C6}= \frac{30}{221}$

 

b) 

Gọi B là bc có đúng 2 quả cầu vàng

n(B) = $4C2.14C4$ --> $P(B)= \frac{4C2.14C4}{18C6}= \frac{11}{34}$

 

c) 

Gọi C là bc có ít nhất 2 quả cầu đỏ

D là bc có nhiều nhất 1 quả cầu đỏ --> n(D) = $12C6+6C1.12C5 = 5676$

--> n(C) = $18C6 - 5676 = 12888$ --> $P(C)= \frac{12888}{18C6}= \frac{1074}{1547}$

 

d)

E là bc có đủ 3 màu

Số cách chọn 6 quả không có quả xanh là M = $10C6$

Số cách chọn 6 quả không có quả vàng là N = $14C6$

Số cách chọn 6 quả không có quả đỏ là Q = $12C6$

Số cách chọn 6 quả toàn xanh là R = $8C6$

Số cách chọn 6 quả toàn đỏ là S = $6C6$

n(E) = $18C6 - (M+N+Q-R-S)= 14456$ --> $P(E)= \frac{14456}{18C6}= \frac{278}{357}$

l)

Xét 49 TH sau :

1) z = 1 --> x+y = 98

..+ x có thể lấy 97 giá trị (từ 1 đến 97).Với mỗi giá trị của x chỉ có 1 giá trị của y sao cho x+y = 98

..---> TH 1 có 97 nghiệm

2) z = 2 --> x+y = 96.Tương tự x có thể lấy 95 giá trị --> TH 2 có 95 nghiệm

3) z = 3 --> x+y = 94.Tương tự, TH 3 có 93 nghiệm

.................................................

.................................................

49) z = 49 --> x+y = 2. TH 49 có 1 nghiệm

---> Số nghiệm nguyên dương của pt là 1+3+5+ ... +97 = $(1+97).49/2$ = 2401

 

ll)

Xét 2011 TH sau :

1) x = 1 --> y+z = 2012

...y có thể lấy 2011 giá trị.Với mỗi giá trị của y chỉ có 1 giá trị của z để y+z = 2012 --> TH 1 có 2011 nghiệm

2) x = 2 --> y+z = 2011.Tương tự, TH 2 có 2010 nghiệm

3) x = 3 --> y+z = 2010.Tương tự, TH 3 có 2009 nghiệm

............................................

............................................

2011) x = 2011 --> y+z = 2. TH 2011 có 1 nghiệm

---> Số nghiệm nguyên dương của pt là 1+2+3+ ... + 2011 = $\frac{(1+2011).2011}{2}= 2012C2= 2023066$

Đề:

Cho bàn tròn 10 ghế, có 5 cặp vợ chồng, có bao nhiêu cách xếp để vợ chồng thì ngồi gần nhau

Bài giải

Đánh số từ 1 đến 10, chọn các cặp ghế gần nhau ta sẽ có 2 chuỗi

chuỗi 1 các ghế 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10

chuỗi 2: 10-1 23 45 67 89
Xếp 5 cặp vào mỗi chuỗi có 5! cách, đảo chỗ 2 vợ chồng ta được 5!2^5 cách

vậy có 5!*2^5*2 cách xếp

Chia 10 ghế thành 5 cặp ghế kề nhau (vì là bàn tròn, các chỗ ngồi là như nhau nên coi như chỉ có 1 cách chia)

Cặp vợ chồng thứ nhất chọn 1 cặp ghế (chỉ có 1 cách chọn vì các cặp ghế như nhau)

Chia 4 cặp ghế còn lại cho 4 cặp vợ chồng còn lại : Có 4! = 24 cách chia

Xếp mỗi cặp vợ chồng ngồi vào cặp ghế của mình : 2 cách

 

---> Số cách sắp xếp thỏa mãn ĐK của bài toán là $24.2^5$ = 768 cách.

Số cách chọn 7 câu sao cho không có câu dễ là M = $11C7$ = 330

Số cách chọn 7 câu sao cho không có câu TB là N = $13C7$ = 1716

Số cách chọn 7 câu sao cho không có câu khó là P = $16C7$ = 11440

Số cách chọn 7 câu sao cho chỉ toàn câu dễ là Q = $9C7$ = 36

Số cách chọn 7 câu sao cho chỉ toàn câu TB là R = $7C7$ = 1

Số cách chọn 7 câu trong 20 câu là S = $20C7$ = 77520

Số cách chọn 7 câu thỏa mãn ĐK của đề bài là T = S - (M + N + P - Q - R) = 64071 cách.

 

Trả lời : 64071 cách

Cách 1 :

Có n! cách xếp n lá thư vào n phong bì

Có (n-1)! cách xếp sao cho lá thư đã chọn vào đúng phong bì tương ứng

---> XS cần tính là (n-1)! / n! = 1/n

 

Cách 2 :

Mỗi lá thư có n ''lựa chọn'' (n phong bì)

XS để lá thư được chọn gặp đúng phong bì tương ứng là : 1/n

Xét 2n giác đều $A_1A_2A_3...A_{2n}$ nội tiếp trong $(O)$
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_1,A_2,...,A_{n+1}$
...Chọn 3 trong n+1 đỉnh đó sẽ đc 3 đỉnh nằm cùng phía
...---> Trên nửa đg tròn đó có thể chọn đc $C_{n+1}^{3}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía

+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_2,A_3,...,A_{n+2}$ (bỏ $A_1$, thêm $A_{n+2}$)
...Ta có thể chọn thêm các bộ 3 mới bằng cách ghép $A_{n+2}$ với 2 trong n điểm 
...còn lại ---> chọn thêm đc $C_{n}^{2}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía nữa.
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_3,A_4,...,A_{n+3}$ (bỏ $A_2$, thêm $A_{n+3}$)
...Ta có thể chọn thêm các bộ 3 mới bằng cách ghép $A_{n+3}$ với 2 trong n điểm 
...còn lại ---> chọn thêm đc $C_{n}^{2}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía nữa.
+ ........................................…
.. ........................................…
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{n+2},A_{n+3},...,A_1,A_2$ (bỏ $A_{n+1}$, thêm $A_2$)
...Ta có thể chọn thêm các bộ 3 mới bằng cách ghép $A_2$ với 2 trong n điểm 
...còn lại ---> chọn thêm đc $C_{n}^{2}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía nữa.
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{n+3},A_{n+4},...,A_2,A_3$ (bỏ $A_{n+2}$, thêm $A_3$)
...Số bộ 3 đỉnh cùng phía chọn thêm đc là $C_{n}^{2}-C_{3}^{3}$
...($C_{3}^{3}$ là số bộ có đc từ $A_1,A_2,A_3$)
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{n+4},A_{n+5},...,A_3,A_4$ (bỏ $A_{n+3}$, thêm $A_{4}$)
...Số bộ 3 đỉnh cùng phía chọn thêm đc là $C_{n}^{2}-C_{4}^{3}$
...($C_{4}^{3}$ là số bộ có đc từ $A_{1},A_2,A_3,A_4$)
+ ........................................…
.. ........................................…
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{2n},A_1,...,A_{n-1},A_n$ (bỏ $A_{2n-1}$, thêm $A_n$)
...Số bộ 3 đỉnh cùng phía chọn thêm đc là $C_{n}^{2}-C_{n}^{3}$
...($C_{n}^{3}$ là số bộ có đc từ $A_1,A_2,...,A_n$)

Tổng cộng số cách chọn 3 đỉnh nằm cùng phía là 
$C_{n+1}^{3}+(2n-1).C_{n}^{2}-(C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+...+C_{n}^{3})$
===========================
Ví dụ lục giác đều ABCDEF (n=3) có $C_{4}^{3}+5.C_{3}^{2}-C_{3}^{3}=18$ cách chọn 3 đỉnh 
nằm cùng phía.Đó là 
(A,B,C) (A,B,D) (A,C,D) (B,C,D)
(E,B,C) (E,B,D) (E,C,D)
(F,C,D) (F,C,E) (F,D,E)
(A,D,E) (A,D,F) (A,E,F)
(B,E,F) (B,E,A) (B,F,A)
(C,F,A) (C,F,B)
(Đúng $18$ cách, không hơn, không kém, không trùng lắp)