chanhquocnghiem

Một người di chuyển từ A đến một rào chắn B theo ba hình thức tiến, lùi, sang ngang. Mỗi bước đều có chiều dài 0,5 mét. Bước tiến có xác suất bằng 0,5; bước lùi có xác suất bằng 0,3. Khoảng cách giữa A và đường biến B là 6 mét. Xác suất để sau đúng 16 bước người này đến rào chắn B bằng bao nhiêu?

$\mathbf{TH1}$ ($2$ bước lùi, $14$ bước tiến) Hai bước $15,16$ phải là tiến.

a) Bước thứ $14$ là tiến : Xác suất là $C_{13}^2.0,3^2.0,5^{11}$

b) Bước thứ $14$ là lùi, bước thứ $13$ phải là tiến : Xác suất là $C_{12}^1.0,3^1.0,5^{11}$

$\mathbf{TH2}$ ($1$ bước lùi, $2$ bước ngang, $13$ bước tiến) Bước thứ $16$ phải là tiến.

a) Bước thứ $15$ là tiến : Xác suất là $C_{14}^1C_{13}^2.0,3^1.0,2^2.0,5^{11}$

b) Bước thứ $15$ ngang, bước thứ $14$ tiến : XS là $C_{13}^1C_{12}^1.0,3^1.0,2^1.0,5^{11}$

c) Bước thứ $15$ và $14$ ngang, bước thứ $13$ phải tiến : XS là $C_{12}^1.0,3^1.0,5^{11}$

$\mathbf{TH3}$ ($4$ bước ngang, $12$ bước tiến) Bước thứ $16$ phải tiến.

  Xác suất là $C_{15}^4.0,2^4.0,5^{11}$

 

Đáp án là (xichma mấy cái trên lại) : $\frac{9717}{512000}\approx 0,018979$

----------------------------------------------

Mình nghĩ các đáp án kia không đúng đâu, riêng TH2a đã có xác suất xấp xỉ $0,0064$ rồi.
 

2/" Cho em hỏi làm thế nào để đếm số hình bình hành ạ."
3/" Nếu hỏi có bao nhiêu hình thoi thì đếm như thế nào nhỉ?"
4/" Mấy anh cho em hỏi nếu người ta hỏi có bao nhiêu hình thang cân thì làm thế nào vậy ".

Mình "xung phong" làm cái vụ "hình bình hành"

(Xin nói rõ là đếm số hình bình hành có sẵn, tức là không cần kẻ thêm bất kỳ đoạn thẳng nào)

--------------------------------------------------

Gọi đường thẳng $AB$ là $t_0$. Các đường thẳng song song với nó lần lượt là $t_1,t_2,...,t_n$

                            $BC$ là $u_0$. Các đường thẳng song song với nó lần lượt là $u_1,u_2,...,u_n$

                            $CA$ là $v_0$. Các đường thẳng song song với nó lần lượt là $v_1,v_2,...,v_n$

Mỗi điểm nút là giao điểm của các đường $t_i,u_j,v_k$ ký hiệu là $N_{i,j,k}$

Nhận xét rằng 2 điểm nút $N_{i_1,j_1,k_1}$ và $N_{i_2,j_2,k_2}$ là 2 đỉnh nhọn của một hình bình hành khi và chỉ khi $i_1\neq i_2,j_1\neq j_2,k_1\neq k_2$.

Xét một nút $N_{i,j,k}$ tùy ý.

Số nút thỏa mãn cùng $i$, cùng $j$ hoặc cùng $k$ là $2n+1$

Số nút khác $i$, khác $j$ và khác $k$ là $C_{n+2}^2-(2n+1)=\frac{n(n-1)}{2}=C_n^2$

$\Rightarrow$ Số hình bình hành là $\frac{C_{n+2}^2C_n^2}{2}=3C_{n+2}^4$.
 

https://diendantoanh...song-với-các-c/

Cho hai điểm thay đổi A, B lần lượt thuộc đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=ln(x+1)$. Giá trị nhỏ nhất của AB bằng $a+b.e+c\sqrt{2}$. Tìm a, b, c.

Gọi $t$ là đường thẳng $x-y+1=0$.

Nhận xét rằng hai đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=\ln (x+1)$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $t$ và không cắt đường thẳng $t$

Suy ra $AB_{min}=2d_{min}(M,t)$ với $M$ là điểm chạy trên đồ thị $y=e^{x+1}$.

Lấy $M$ tùy ý trên đồ thị $y=e^{x+1}\Rightarrow M(m;e^{m+1})$

$\Rightarrow d(M,t)=\frac{\left | m-e^{m+1}+1 \right |}{\sqrt{2}}=\frac{e^{m+1}-m-1}{\sqrt{2}}$

$d'(m)=\frac{e^{m+1}-1}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$

$d''(-1)=\frac{1}{\sqrt{2}}> 0$

$\Rightarrow d_{min}(M,t)=\frac{e^0-(-1)-1}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}\Rightarrow AB_{min}=\sqrt 2$

$\Rightarrow a=0,b=0,c=1$.

2/ Dùng hàm sinh, hãy thiết lập công thức tính tổng $S=0^2+1^2+2^2+...+n^2.$

Ta đã biết $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}+...$

Cần tìm hàm $g(x)$ có dạng $n+(n-1)x+(n-2)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}$

$g(x)=n+(n-1)x+(n-2)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}+\frac{1-x^{n-1}}{1-x}+\frac{1-x^{n-2}}{1-x}+...+\frac{1-x}{1-x}=$

   $=\frac{n-\left ( \frac{1-x^{n+1}}{1-x}-1 \right )}{1-x}=\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(1-x)^2}$

Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(1-x)^2}.\frac{1}{(1-x)^2}=\left ( x^{n+1}-(n+1)x+n \right )\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3x^k$

$S=\left [ x^{n-1} \right ]f(x)=nC_{n+2}^3-(n+1)C_{n+1}^3=\frac{n^2(n+1)(n+2)}{6}-\frac{n(n+1)^2(n-1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(Edited)

Đáp án có thể viết dưới dạng khác :

$\frac{20!}{2^{10}}$ nếu các tổ phân biệt (đánh số hoặc đặt tên cụ thể)

$\frac{20!}{2^{10}.10!}$ nếu các tổ không phân biệt.

1/ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_k=n$ sao cho
b) $x_1+x_2 \leq 2$

(Đây là một bài hay là hai bài riêng rẽ vậy ? Nếu chỉ là một bài thì điều kiện $a$ thừa rồi)

$\textbf{TH1}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $C_{n+k-3}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm

$\textbf{TH2}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n-1 \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $2C_{n+k-4}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm

$\textbf{TH3}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n-2 \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $3C_{n+k-5}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm

Vậy tổng số bộ nghiệm nguyên không âm là $C_{n+k-3}^{k-3}+2C_{n+k-4}^{k-3}+3C_{n+k-5}^{k-3}$

 

 

Bài toán 3. Tìm hai chữ số tận cùng của $n^{20}$ với $n$ là một số tự nhiên tận cùng bằng $2$.

(Giải theo cách THCS)
$(10a+2)^2\equiv 40a+4\ (mod\ 100)$

$(10a+2)^3\equiv 120a+8\equiv 20a+8\ (mod\ 100)$

$\Rightarrow (10a+2)^5\equiv (40a+4)(20a+8)\equiv 400a+32\equiv 32\ (mod\ 100)$

$\Rightarrow (10a+2)^{10}\equiv (100b+32)^2\equiv 24\ (mod\ 100)$

$\Rightarrow (10a+2)^{20}\equiv (100c+24)^2\equiv 76\ (mod\ 100)$

Vậy đáp án là $76$.

 

Bài toán 4. Tìm $20$ chữ số tận cùng của $90!$. 

Từ $1$ đến $90$ có :

- $45$ số chia hết cho $2$.

- $18$ số chia hết cho $5$.

- $3$ số chia hết cho $5^2$.

$\Rightarrow$ $90!$ chia hết cho $10^{18+3}=10^{21}$

$\Rightarrow 20$ chữ số tận cùng của $90!$ là $20$ chữ số $0$.
 

Bài toán 1. Tìm năm chữ số tận cùng của $5^{55}$.

Ta có $5^{11}\equiv 28125\ (mod\ 100000 )$

$\Rightarrow 5^{22}\equiv 28125^2\equiv 15625\ (mod\ 100000)$

$\Rightarrow 5^{33}\equiv 15625.28125\equiv 53125\ (mod\ 100000)$

$\Rightarrow 5^{55}\equiv 15625.53125\equiv 78125\ (mod\ 100000)$

Vậy $5$ chữ số tận cùng của $5^{55}$ là $78125$

 

Trước hết, xin anh thông cảm, máy em đang ỏng ẹo!
Nghĩ sao em xin trình bày như vậy, có gì sai sót, nhầm lẫn xin anh chỉ bảo.
Em nghĩ đây là bài toán XS hình học.
Ta đặt : AC=x, AD=y thì theo đề bài ta có :
y>=2+x. Trên mp Oxy ta thấy các điểm M(x,y) thỏa mãn sẽ nằm trong tam giác vuông 98x98 từ đó em có kết quả trên

Kết quả rất chính xác và ngẫu nhiên trùng với cách nghĩ của mình.

Mình còn nghĩ ra một cách khác, tuy dài dòng hơn nhưng cũng cứ đưa lên đây.

------------------------------------------

Chia đoạn $AB=100$ thành $100k$ đoạn bằng nhau, ta có $100k+1$ điểm kể cả 2 điểm mút. Chọn ngẫu nhiên $2$ trong $100k+1$ điểm đó, ta tính xác suất khoảng cách $2$ điểm đã chọn lớn hơn hoặc bằng $2$.

Ký hiệu các điểm là $x_0,x_1,x_2,...,x_{100k}$. Giả sử $2$ điểm được chọn là $x_i,x_j$ ($x_i\leqslant x_j-2$)

Khoảng cách 2 điểm liên tiếp là $\frac{1}{k}$.

$x_i\leqslant x_j-2=x_j-2k.\frac{1}{k}\Rightarrow i\leqslant j-2k\Rightarrow 0\leqslant i< j-2k+1\leqslant 98k+1$

$\Rightarrow$ Xác suất để khoảng cách không nhỏ hơn $2$ là $\frac{C_{98k+2}^2}{C_{100k+1}^2}=\frac{(98k+2)(98k+1)}{100k(100k+1)}$

Đáp án bài toán gốc là $\lim_{k\to\infty}\frac{(98k+2)(98k+1)}{100k(100k+1)}=\frac{98^2}{100^2}=0,9604$.
 

1/ Em nghĩ như vầy :
Gọi $A_i$ là biến cố chàng trai thứ $i$ chọn được đối tác thành cặp. Ta thấy chàng trai này có $ n$ cách chọn đối tác, còn đối tác chỉ có $1$ cách chọn ; mỗi chàng trong $n-1$ chàng còn lại có $n$ cách chọn đối tác và tương tự cho $n-1$ nàng còn lại. Như vậy ta có :
$$P(A_i)=\frac {n n^{2n-2}}{n^{2n}}=\frac {n}{n^2}$$ Với $i\neq j $ , lập luận tương tự ta có :
$$P(A_iA_j)=\frac {n(n-1) n^{2n-4}}{n^{2n}}=\frac {n(n-1)}{n^4}$$ Tiếp tục như vậy ta được :
$$P(A_1\cup ...\cup A_n)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$
Suy ra XS cần tính là :
$$1-P(A_1\cup ...\cup A_n)= 1-\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$

Thử xét một trường hợp đơn giản là $n=2$ (hai nam là $A$ và $B$, hai nữ là $X$ và $Y$. Nếu $A$ chọn $X$ thì ký hiệu $AX$, nếu $Y$ chọn $A$ thì ký hiệu $YA$)

Dễ dàng tính được $\left | \Omega \right |=2^4=16$ và liệt kê được $16$ trường hợp đó.

Theo kết quả của mình thì xác suất không có cặp nào tạo thành là $\frac{1}{2^4}\left ( \left ( P_2^0 \right )^22^4-\frac{(P_2^1)^22^2}{1!}+\frac{(P_2^2)^22^0}{2!} \right )=\frac{1}{8}$

Còn theo bạn, xác suất đó là $1-\left ( \frac{2}{2^2}-\frac{2.1}{2^4} \right )=\frac{5}{8}$

Nhưng trong $16$ trường hợp đã liệt kê, chỉ có $2$ trường hợp không có cặp nào tạo thành là

$\left \{ AX,BY,XB,YA \right \}$ và $\left \{ AY,BX,XA,YB \right \}$.
 

2/ Mười hai cặp vợ chồng tham gia một câu lạc bộ. Nhóm 24 người này được phân ngẫu nhiên thành tám đội, mỗi đội ba người.  Hỏi xác suất mà không có đội nào có một cặp vợ chồng .

$n(\Omega )=\frac{C_{24}^3C_{21}^3C_{18}^3C_{15}^3C_{12}^3C_9^3C_6^3}{8!}=\frac{24!}{6^8.8!}=\frac{C_{12}^0P_{24}^{16}}{6^8}$

Gọi $M_k$ là số cách phân chia sao cho có ít nhất $k$ đội có cặp vợ chồng. Ta tính $M_k$.

+ Chọn $k$ cặp vợ chồng : $C_{12}^k$ cách.

+ Chọn thêm $k$ người trong số $24-2k$ người còn lại : $C_{24-2k}^k$ cách.

+ Ghép mỗi người vào một cặp vợ chồng : $k!$ cách.

+ Chia $24-3k$ người còn lại thành $8-k$ đội : $\frac{(24-3k)!}{6^{8-k}.(8-k)!}=\frac{P_{24-3k}^{16-2k}}{6^{8-k}}$

  $\Rightarrow M_k=C_{12}^kC_{24-2k}^kk!.\frac{P_{24-3k}^{16-2k}}{6^{8-k}}=\frac{C_{12}^kP_{24-2k}^{16-k}}{6^{8-k}}$

  $\Rightarrow$ Số cách chia sao cho không có đội nào có cặp vợ chồng $M=n(\Omega )-M_1+M_2-M_3+...=$

     $=\sum_{k=0}^{8}\frac{(-1)^kC_{12}^kP_{24-2k}^{16-k}}{6^{8-k}}$

 Xác suất cần tính là

$P=\frac{M}{n(\Omega )}=\frac{6^8}{P_{24}^{16}}\sum_{k=0}^{8}\frac{(-1)^kC_{12}^kP_{24-2k}^{16-k}}{6^{8-k}}\approx 0,344649$.
 

1/ Trong một nhóm gồm n nam và n nữ, mỗi nam chọn ngẫu nhiên một nữ và mỗi nữ chọn ngẫu nhiên một nam.  Sự lựa chọn của các chàng trai và cô gái là độc lập với nhau.  Nếu một chàng trai và một cô gái đã chọn nhau, họ sẽ tạo thành một cặp.  Hỏi xác suất mà không có cặp nào  được hình thành .

$n\left ( \Omega \right )=n^{2n}$

Gọi $M_k$ là số cách chọn sao cho có ít nhất $k$ cặp tạo thành. Ta tính $M_k$.

+ Chọn $k$ cặp tạo thành : Có $\frac{n^2(n-1)^2(n-2)^2...(n-k+1)^2}{k!}=\frac{\left ( P_n^k \right )^2}{k!}$ cách

+ Mỗi người không thuộc $k$ cặp đó có $n$ cách chọn $\rightarrow n^{2(n-k)}$ cách.

$\Rightarrow M_k=\frac{\left ( P_n^k \right )^2n^{2(n-k)}}{k!}$

$\Rightarrow$ Số cách sao cho không có cặp nào tạo thành là $M=n^{2n}-M_1+M_2-M_3+...=$

      $=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k\left ( P_n^k \right )^2n^{2(n-k)}}{k!}$

Xác suất cần tính là :

$P=\frac{M}{n\left ( \Omega \right )}=\frac{1}{n^{2n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k\left ( P_n^k \right )^2n^{2(n-k)}}{k!}$.
 

Cho đoạn thẳng $AB=100$. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm $C$ và $D$ trên đoạn thẳng đó, tính xác suất $CD\geqslant 2$ ?