Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


chanhquocnghiem

Đăng ký: 27-09-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#735998 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong Hôm nay, 12:26

Em tính trên mạng các trang online integral calculator.

Mình dùng WolframAlpha và ra kết quả là $260280$.
 




#735986 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong Hôm qua, 20:18

Anh nhầm ở ngoặc cuối cùng trong dấu tích phân phải là $\left( \frac {t^4}{24}-t^2+t\right). $

Đúng vậy : $\frac{t^4}{24}-t^2+t$  (Đã sửa ở trên)
 




#735984 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong Hôm qua, 18:21

Rất cám ơn anh.
Em cũng làm giống anh, nhưng khi kiểm tra lại bằng cách sử dụng đa thức Laguerre thì kết quả không trùng khớp!(kết quả :263604). Em nghĩ hàm sinh anh em mình lập có vấn đề! Vậy mong anh giúp em cùng nghiên cứu xem sai ở đâu nhé?

Sử dụng đa thức Laguerre : $n_1=6$ ; $n_2=5$ ; $n_3=4$ ; $m_1=m_2=m_3=3$

$p_{3,6}(t)=\left [ x^6 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t$
$p_{3,5}(t)=\left [ x^5 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2$

$p_{3,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^4}{24}-t^2+t$

Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t \right )\left ( \frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2 \right )\left ( \frac{t^4}{24}-t^2+t \right )dt=260280$.




#735982 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong Hôm qua, 16:20

Dùng hàm sinh để tính : Có bao nhiêu cách sắp xếp xâu $a,a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,c,c,c,c$ sao cho 3 chữ cái giống nhau không đứng kề nhau.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-x \right )\left ( \frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{2}+x^2 \right )\left ( \frac{x^4}{24}-x^2+x \right )$

$=\frac{x^{15}}{2073600}-\frac{17x^{13}}{172800}+\frac{19x^{12}}{86400}+\frac{11x^{11}}{1920}-\frac{61x^{10}}{2880}-\frac{119x^9}{1440}+\frac{91x^8}{240}+\frac{2x^7}{15}-\frac{5x^6}{4}+x^4$

Thay $x^k$ bằng $k!$ được kết quả là $260280$ cách.
 




#735970 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-11-2022 - 19:35

1/ Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau, 4 sách Hóa khác nhau và 2 sách Lý khác nhau sao cho :
b/ hai sách cùng loại không xếp kế nhau.

Trước hết, tạm xem các sách cùng loại là giống nhau, ta có hàm sinh :

$f(x)=\left ( \frac{x^6}{6!}-C_5^1.\frac{x^5}{5!}+C_5^2.\frac{x^4}{4!}-C_5^3.\frac{x^3}{3!}+C_5^4.\frac{x^2}{2!}-x \right )\left ( \frac{x^4}{4!}-C_3^1.\frac{x^3}{3!}+C_3^2.\frac{x^2}{2!}-x \right )\left ( \frac{x^2}{2!}-x \right )=$

$=\frac{x^{12}}{34560}-\frac{11x^{11}}{8640}+\frac{13x^{10}}{576}-\frac{19x^9}{90}+\frac{183x^8}{160}-\frac{89x^7}{24}+\frac{43x^6}{6}-\frac{95x^5}{12}+\frac{9x^4}{2}-x^3$

Thay $x^k$ bằng $k!$ ta có $\frac{12!}{34560}-\frac{11.11!}{8640}+\frac{13.10!}{576}-...-\frac{95.5!}{12}+\frac{9.4!}{2}-3!=70$

Cuối cùng, số cách xếp thỏa mãn là $70.6!.4!.2!=2419200$ cách.
 




#735967 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-11-2022 - 17:50

3/ Một hộp đựng m bi đỏ và n bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi và tiếp đó lấy ngẫu nhiên viên bi thứ hai.
a) Hãy giải thích tại sao XS để viên bi thứ hai là bi xanh cũng là XS để viên bi thứ nhất là bi xanh và tính 2 XS này để chứng tỏ chúng bằng nhau.
b) Giả sử có tất cả 16 viên bi và XS 2 viên bi đã lấy là cùng màu bằng với XS 2 viên bi đã lấy là khác màu thì m, n là bao nhiêu?

a) Thay vì lấy ngẫu nhiên $2$ lần (mỗi lần $1$ viên), có thể dùng cách lấy ngẫu nhiên khác, thông qua 2 bước :

  - Bước 1 : Chọn ngẫu nhiên $2$ viên bi.

  - Bước 2 : Từ $2$ viên bi đó, chọn ngẫu nhiên viên thứ nhất và viên thứ hai.

   Như vậy, nếu trong bước 1 có $1$ viên bi xanh, thì xác suất nó là viên thứ nhất hay viên thứ hai là bằng nhau.

   Nói cách khác, XS viên thứ hai là bi xanh cũng bằng XS viên thứ nhất là bi xanh.

   XS bi thứ nhất là bi xanh $\frac{n}{m+n}$

   XS bi thứ hai là bi xanh $\frac{mn}{(m+n)(m+n-1)}+\frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{n(m+n-1)}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{n}{m+n}$

b) Ta có $m(m-1)+n(n-1)=2mn\Rightarrow m^2+n^2-2mn=m+n=16\Rightarrow \left | m-n \right |=4$

    $\Rightarrow m=10,n=6$ hoặc $m=6,n=10$.
 




#735966 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-11-2022 - 16:39

2bis/ Một cuốn sách được đánh số trang liên tục từ 1 đến n. Sách có 12 chương mà số các chữ số dùng để đánh số trang của mỗi chương là như nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của n.

Nếu $n$ từ $10$ đến $99$ thì số chữ số cần dùng là $9+2(n-9)=2n-9$ (số lẻ, không chia hết cho $12$)

Nếu $n$ từ $100$ đến $999$ thì số chữ số cần dùng là $9+2.90+3(n-99)=3n-108$

Vì $\frac{3n-108}{12}\geqslant 16\rightarrow$ chương 1 phải có hơn $10$ trang.

Giả sử chương 1 có $m$ trang ($10< m< 100$) thì cần $2m-9$ chữ số để đánh số trang của chương 1.

Và cần $4m-18$ chữ số để đánh số trang của 2 chương đầu tiên.

$4m-18$ là số chẵn $\rightarrow$ tổng số trang của 2 chương đầu tiên phải từ $100$ trở lên.

$\Rightarrow 4m-18=3k-108\Rightarrow m=54$ (chọn $m$ nhỏ nhất)

$\Rightarrow$ số chữ số cần dùng để đánh số trang cuốn sách đó là $12.(2.54-9)=1188$

Và số trang của cuốn sách đó là $n=\frac{1188+108}{3}=432$.
 




#735964 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-11-2022 - 14:29

2/ Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác không mà tích các chữ số là bội số của 10.

Gọi $A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,2,3,4,6,7,8,9 \right \}$ ; $C=\left \{ 1,3,7,9 \right \}$

Và $M,N,P$ lần lượt là số số tự nhiên có $6$ chữ số lập được từ $A,B,C\Rightarrow M=5^6$, $N=8^6$, $P=4^6$

Số số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài là $9^6-M-N+P=257768$.




#735963 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-11-2022 - 13:54

1/ Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau, 4 sách Hóa khác nhau và 2 sách Lý khác nhau sao cho :
a/ tất cả các sách cùng loại không xếp kế nhau. (Chỉ cần 1 cuốn không xếp kế các sách cùng loại là thỏa yêu cầu)
b/ hai sách cùng loại không xếp kế nhau.

a) Câu này mình thắc mắc chỗ "chỉ cần 1 cuốn không xếp kế các sách cùng loại là thỏa yêu cầu". Nếu vậy thì bất cứ cách xếp nào cũng thỏa yêu cầu rồi !

b) $\textbf{TH1}$ : Không có $2$ quyển Hóa, Lý nào xếp cạnh nhau.

  - Xếp $6$ quyển Toán lên kệ : Có $6!$ cách.

  - Cứ giữa $2$ quyển Toán, ta chèn vào $1$ quyển Hóa hoặc Lý : Có $6.5.4.3.2$ cách.

  - Quyển cuối cùng ta xếp vào ngoài cùng bên phải hoặc trái : Có $2$ cách.

    $\textbf{TH2}$ : Có $2$ quyển Hóa, Lý xếp cạnh nhau.

  - Xếp $6$ quyển Toán lên kệ : Có $6!$ cách.

  - Chọn ra $1$ quyển Hóa, $1$ quyển Lý và xếp chúng cạnh nhau, chèn vào giữa $2$ quyển Toán : $16.5$ cách

  - Xếp $4$ quyển còn lại, mỗi quyển chèn vào giữa $2$ quyển Toán : $4!$ cách

  Vậy đáp án là $2.(6!)^2+6!4!.80=2419200$ cách.




#735954 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 29-11-2022 - 17:37

3/ Một hộp có 10 bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 6 viên không hoàn lại mỗi lần 1 viên. Hỏi xác suất lấy được liên tiếp 2 viên đỏ.

$\textbf{TH1}$ : $2$ viên bi đỏ liên tiếp đầu tiên là viên thứ nhất và viên thứ hai.

$P_1=\frac{10}{18}.\frac{9}{17}=\frac{5}{17}$.

$\textbf{TH2}$ : $2$ viên bi đỏ liên tiếp đầu tiên là viên thứ hai và viên thứ ba.

$P_2=\frac{8}{18}.\frac{10}{17}.\frac{9}{16}=\frac{5}{34}$.

$\textbf{TH3}$ : $2$ viên bi đỏ liên tiếp đầu tiên là viên thứ ba và viên thứ tư.

$P_3=\frac{10}{18}.\frac{8}{17}.\frac{9}{16}.\frac{8}{15}+\frac{8}{18}.\frac{7}{17}.\frac{10}{16}.\frac{9}{15}=\frac{5}{34}$.

$\textbf{TH4}$ : $2$ viên bi đỏ liên tiếp đầu tiên là viên thứ tư và viên thứ năm.

$P_4=\frac{8.7.6.10.9+8.10.7.9.8+10.8.7.9.8}{P_{18}^5}=\frac{11}{102}$.

$\textbf{TH5}$ : $2$ viên bi đỏ liên tiếp đầu tiên là viên thứ năm và viên thứ sáu.

$P_5=\frac{8.7.6.5.10.9+8.7.10.6.9.8+8.10.7.6.9.8+10.8.7.6.9.8+10.8.9.7.8.7}{P_{18}^6}=\frac{115}{1326}$.

Xác suất cần tính là $P_1+P_2+P_3+P_4+P_5=\frac{173}{221}$.




#735953 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 29-11-2022 - 15:49

2/ Tung 3 xúc xắc, tính xác suất để tổng 3 mặt là 1 số lớn hơn 9 nhưng nhỏ hơn 16.

Ta có hàm sinh $f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3=x^3\left ( \frac{1-x^6}{1-x} \right )^3=(...-3x^9+x^3)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+2}^2x^k$

$\left [ x^{10} \right ]f(x)=\left [ x^{11} \right ]f(x)=-3C_3^2+C_9^2=27$.

$\left [ x^{12} \right ]f(x)=\left [ x^{9} \right ]f(x)=-3C_2^2+C_8^2=25$.

$\left [ x^{13} \right ]f(x)=\left [ x^{8} \right ]f(x)=C_7^2=21$.

$\left [ x^{14} \right ]f(x)=\left [ x^{7} \right ]f(x)=C_6^2=15$.

$\left [ x^{15} \right ]f(x)=\left [ x^{6} \right ]f(x)=C_5^2=10$.

Xác suất cần tính là $\frac{27.2+25+21+15+10}{6^3}=\frac{125}{216}$.

 




#735933 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 28-11-2022 - 15:38

1/Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho luôn có mặt 3 chữ số 1,2,3 và chữ số 2 không nằm giữa 1 và 3 (không nhất thiết phải kế nhau).

Chắc ý bạn là "Có bao nhiêu số tự nhiên có $7$ chữ số KHÁC NHAU TỪNG ĐÔI MỘT sao cho..." phải không ?

 

Nếu đúng là như vậy thì xin giải như sau :

Các số lập được có dạng $\overline{abcdefg}$. Gọi $k$ là số chữ số nằm giữa $1$ và $3$ ($k$ chạy từ $0$ đến $5$)

$\textbf{TH1}$ : $a\in \left \{ 1,3 \right \}$

 - Chọn một vị trí sao cho giữa $a$ và vị trí đó có đúng $k$ chữ số : Có $1$ cách.

 - Điền vào vị trí $a$ và vị trí vừa chọn các chữ số $1$ và $3$ : Có $2$ cách.

 - Chọn vị trí cho chữ số $2$ : Có $5-k$ cách.

 - Điền $4$ chữ số vào $4$ vị trí còn lại : Có $P_7^4=840$ cách.

$\textbf{TH2}$ : $a=2$

 - Chọn hai vị trí (khác $a$) sao cho giữa hai vị trí đó có đúng $k$ chữ số : Có $5-k$ cách.

 - Điền vào hai vị trí vừa chọn các chữ số $1$ và $3$ : Có $2$ cách.

 - Điền $4$ chữ số vào $4$ vị trí còn lại : Có $P_7^4=840$ cách.

$\textbf{TH3}$ : $a\notin \left \{ 1,2,3 \right \}$

 - Chọn hai vị trí (khác $a$) sao cho giữa hai vị trí đó có đúng $k$ chữ số : Có $5-k$ cách.

 - Điền vào hai vị trí vừa chọn các chữ số $1$ và $3$ : Có $2$ cách.

 - Chọn vị trí cho chữ số $2$ : Có $4-k$ cách.

 - Điền một chữ số vào vị trí $a$ : Có $6$ cách.

 - Điền $3$ chữ số vào $3$ vị trí còn lại : Có $P_6^3=120$ cách.

Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là :
$\sum_{k=0}^{5}2.840.(5-k)+\sum_{k=0}^{5}2.840.(5-k)+\sum_{k=0}^{5}2.6.120.(5-k)(4-k)=3360\sum_{k=0}^{5}k+1440\sum_{k=0}^{3}(k^2-9k+20)=3360.15+1440.(14-9.6+20.4)=108000$




#735912 Hỏi xác suất để số này chia hết cho 11

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 26-11-2022 - 19:25

2/ Có bao nhiêu số có  7 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 8, được lập từ $1,2,3,4,5,6,7$.

Các số lập được có dạng $\overline{abcdefg}$.

$\textbf{TH1}$ : $\overline{fg}\in \left \{ 12,36,52,76 \right \}$

  - Điền chữ số lẻ vào vị trí $e$ : $3$ cách.

  - Điền $4$ chữ số còn lại vào $a,b,c,d$ : $4!=24$ cách.

$\textbf{TH2}$ : $\overline{fg}\in \left \{ 16,32,56,72 \right \}$

  - Điền chữ số chẵn vào vị trí $e$ : $2$ cách.

  - Điền $4$ chữ số còn lại vào $a,b,c,d$ : $4!=24$ cách.

$\textbf{TH3}$ : $\overline{fg}\in \left \{ 24,64 \right \}$

  - Điền chữ số chẵn vào vị trí $e$ : $1$ cách.

  - Điền $4$ chữ số còn lại vào $a,b,c,d$ : $4!=24$ cách.

 

Vậy đáp án là $24(4.3+4.2+2.1)=528$ số.
 




#735911 Hỏi xác suất để số này chia hết cho 11

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 26-11-2022 - 18:48

1/ Một số có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ $0,1,2,3,4,5$ . Hỏi xác suất để số này chia hết cho 11.

Các số lập được có dạng $\overline{abcde}$.

$\textbf{TH1}$ : Thiếu chữ số $0$ hoặc thiếu chữ số $4\rightarrow$ không lập được số nào chia hết cho $11$.

$\textbf{TH2}$ : Thiếu chữ số $1$

  - Chọn $3$ chữ số cho các vị trí $a,c,e$ : $2$ cách (là $\left \{ 0,2,5 \right \}$ hoặc $\left \{ 0,3,4 \right \}$)

  - Xếp $3$ chữ số đó vào $3$ vị trí $a,c,e$ : $4$ cách.

  - Xếp $2$ chữ số còn lại vào $2$ vị trí $b,d$ : $2$ cách.

  $\Rightarrow$ TH2 lập được $16$ số chia hết cho $11$.

$\textbf{TH3}$ : Thiếu chữ số $2$

  - Xếp $\left \{ 3,4,5 \right \}$ vào $3$ vị trí $a,c,e$ : $6$ cách.

  - Xếp $\left \{ 0,1 \right \}$ vào $2$ vị trí $b,d$ : $2$ cách.

  $\Rightarrow$ TH3 lập được $12$ số.

$\textbf{TH4}$ : Thiếu chữ số $3\rightarrow$ lập được $16$ số (tương tự TH2)

$\textbf{TH5}$ : Thiếu chữ số $5\rightarrow$ lập được $16$ số (tương tự TH2)
Vậy xác suất cần tính là $\frac{3.16+12}{5!+5.4.4!}=\frac{1}{10}$.




#735899 Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 26-11-2022 - 06:54

XS là $8953/44803\approx 0,1998$

Vậy thì bài toán 10 quả cam này với bài toán 30 học sinh, bài toán 30 bit và bài toán những trái thanh long có gì khác nhau đâu nhỉ ?