NMDuc98

Cho a,b,c >0 thỏa abc=1. Chứng minh: 

$\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ac}}\geq 3$

Mình đã viết ở đây:

Thực hiện qui đồng rồi chuyển vế ta thu được:

$ Ax+(A-2)\sqrt{x}+A=0$

Với $A=0$ suy ra $x=0$

Với $A\neq 0$ suy ra $\delta = (A-2)^2-4A^2$

                                            $= -3A^2-4A+4=(2-3A)(A+2)\geq 0$

          suy ra $-2 \leq A \leq \frac{2}{3}$

Kết luận $max A =\frac{2}{3}$ đạt được khi $x=1$ (mâu thuẫn) suy ra không tồn tại max

Mình xin nhận xét một chút:

Bạn kết luận $Max_A=\frac{2}{3}$.Sau đó bạn lại nói là không có $Max$.Cần thay đổi đoạn này!Trong bài làm nếu bạn viết như thế sẽ phá vỡ tính lô-gic và mất điểm ở một bài toán đơn giản!

$1/$ $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$
 

$2/$ $\sqrt[3]{4x-3}+\sqrt{6x+3}=4$

$3/$ $\sqrt[3]{x^2+2^3}+2\sqrt{2x}+\sqrt{x-1}=8$

 

Giải bằng phương pháp đánh giá 

Hướng Giải:

Đối với 3 bài này đều có nghiệm duy nhất!

Giả sử đó là $a$.

Xét $x>a$. ( Vô Nghiệm)

Xét $x=a$ ( Thỏa Mãn)

Xét $x<a$. ( Vô Nghiệm)

Nếu muốn ngắn gọn hơn thì kém luôn điều kiện bài toán khi xét các trường hợp!

1, cho 2 số duơng x, y TMĐK x + y =2

CM: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ( $ab \le \frac{(a+b)^2}{4}$ ) ta có:

$x^2y^2(x^2+y^2)\\=\frac{1}{2}.2xy.(x^2+y^2)xy\\\leq \frac{1}{2}.\frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}.\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{2}.\frac{(x+y)^4}{4}.\frac{(x+y)^2}{4}=2$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=1$.

Cho $x\geq 0;x\neq 1$. Tìm GTLN của A=$\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$

P/s thực ra đây là một bài rút gọn, câu cuối yêu cầu tìm GTLN của A !!!  

Xét $x=0$ ta có: $A=0$.

Xét $x >0,x\ne 1$ ta có:

$A=\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1}\leq \frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$

Dấu $=$ xảy ra khi $\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=1.$.Điều này vô lý vì $x \ne 1$.

Do đó: $A <\frac{2}{3}$.

Kết luận: Không có $Max$

 Kiểm tra lại đề xem sao đi bạn. Mình thử 1,2,3 thấy không đúng

Đúng mà bạn!Nếu lấy 1,2,3 thì $VT=52,1....$ còn $VP=42$.

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)\geq 3(a^2+b^2+c^2)$.

P/S: Cuộc chiến đã kết thúc!

Cho a,b,c>0 và   $abc+a+c=b$

 

Tìm MAX:  

 

 

 $\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

Tham khảo:

CMR: $\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nc}\geq \frac{3}{m+n}$ với a; b; c; m; n dương 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}=\frac{a^2}{mab+nac}+\frac{b^2}{mbc+nab}+\frac{c^2}{mca+nbc}\geq \frac{(a+b+c)^2)}{(m+n)(ab+bc+ca)}$

$\Rightarrow \frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}\ge\frac{(a+b+c)^2)}{(m+n)(ab+bc+ca)}~~~~(*)$

Mặt khác: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}~~~~(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$ và $m=n$

1) Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c.$ CMR: $P(-1). P(-2) \leq 0$ biết rằng $5a-3b+2c=0$

Ta có:$5a-3b+2c=0\Leftrightarrow c=\frac{3b-5a}{2}$.

$P(-1)=a-b+c=a-b+\frac{3b-5a}{2}=\frac{b-3a}{2}\\P(-2)=4a-2b+c=4a-2b+\frac{3b-5a}{2}=\frac{-(b-3a)}{2}\\\Rightarrow P(-1)P(-2) =\frac{-(b-3a)^2}{4}\leq 0~~~~(Q.E.D)$

lỡ 1-2k +$\sqrt{\Delta }$ không chia hết cho k thì sao

thử k=12

Ở đây yêu cấu nghiệm số hửu tỷ.Chứ đâu phải nghiệm nguyên mà cần chia hết!

Đa số thành viên tham gia đều giải đúng theo ý tưởng mình gửi lên!Chỉ phụ thuộc vào phần trình bày có hay và súc tích không mà thôi!

Bài làm của thí sinh $MHS09$

Giải.

Đặt $S=\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}$, ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}=\frac{1}{x^3yzt(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}=\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}$ (Do $xyzt=1$)

Tương tự:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}=\frac{1}{y^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}\\ \frac{1}{z^3(yx+xt+ty)}=\frac{1}{z^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t})}\\ \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}=\frac{1}{t^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})} \end{matrix}\right.$$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}\geq 2\sqrt{\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}.\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}}=\frac{2}{3x}$ (bất đẳng thức $Cauchy$)

Tương tự: $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}\geq \frac{2}{3y}\\ \frac{1}{z^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}}{9}\geq \frac{2}{3z}\\ \frac{1}{t^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}}{9}\geq \frac{2}{3t} \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế, ta được: $S+\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )\\ \Leftrightarrow S\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho bốn số dương, ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}}=4$

Suy ra $S\geq \frac{4}{3}$

Vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3},$ $\forall x,y,z,t> 0; xyzt=1$

P/s: Em may quá mấy bác ạ, trúng tủ   

Bài giải này khá dài!Cần đặt ẩn để ngắn gọn hơn! 

Cho x;y dương $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

CMR : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Tham khảo:http://k2pi.net/showthread.php?t=9371

các bạn ơi , các bạn giúp cho mình  những tài liệu  về chuyên nghành sư phạm toán. mình cảm ơn các bạn nhiều****

Bạn vào http://minhduc1604.blogspot.com có một số về BĐT,PT,HPT,Hình Học Giải Tích!