Hoang Tung 126

Ta có :$a+\frac{1}{b(a-b)}=(a-b)+b+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{b.(a-b)}{b(a-b)}}=3$

Đk đề bài phải là : $ab+bc+ac=3$ nên BĐT $< = >$ $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geq$$1$ .Theo bđt Bunhiacopxki ta có :$\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ac)}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$(Do $ab+bc+ac=3$ .Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Ta có : $\sqrt{x^2+(1-\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^2+(1+\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2+(\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}})^2}+\sqrt{(x-\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2+\sqrt{(\frac{2-\sqrt{3}}{2}})^2}+\sqrt{(x-1)^2+1^2}=\sqrt{(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2+\left ( \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} \right )^2}+\sqrt{(x+\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2+(\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}})^2}+\sqrt{(x-1)^2+1}\geq \sqrt{(2x+1)^2+(\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}})^2}+\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{(2x+1)^2+3}+\sqrt{(x-1)^2+1}$

Do $16x^4+5> 0$  nên $\sqrt[3]{x(4x^2+1)}> 0$ hay $x> 0$. Áp dụng bđt cosi cho 3 số ta có : $16x^4+5=6\sqrt[3]{x(4x^2+1)}=3\sqrt[3]{4x.(4x^2+1).2}\leq 4x^2+1+4x+2=4x^2+4x+3$

$= >$ $16x^4+5-4x^2-4x-3\leq 0$ hay $16x^4-4x^2-4x+2\leq 0$ hay $(2x-1)^2.(2x^2+2x+1)\leq 0$(1). Do $(2x-1)^2\geq 0,2x^2+2x+1> 0$ nên $(2x-1)^2(2x^2+2x+1)\geq 0$(2) .Từ (1) và (2) $= >$ Dấu = xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn dấu = của bđt ) 

 Vậy $x=\frac{1}{2}$

Đặt $\sqrt{3x-y}=a,\sqrt{x+y}=b = > 2x=\frac{a^2+b^2}{2}$ .Do $2x+\sqrt{(3x-y)(x+y)}=4$ nên $\frac{a^2+b^2}{2}+ab=4$ hay $\left ( a+b \right )^2=8$ .Do $a,b\geq 0$ nên $a+b=2\sqrt{2}$ nên a=$2\sqrt{2}-b$(1) .Do $\sqrt{3x-y}+x=\sqrt{2}+1$ nên $a+\frac{a^2+b^2}{4}=\sqrt{2}+1$ hay $(a+2)^2+b^2=4\sqrt{2}+8$(2). Thay (1) vào (2) ta có :$(2\sqrt{2}-b+2)^2+b^2=4\sqrt{2}+8$ hay $b^2-2b\sqrt{2}-2b+2\sqrt{2}+2=0$ hay $(b-\sqrt{2})(b-2-\sqrt{2})=0$

-Nếu $b-\sqrt{2}=0$ thì $b=\sqrt{2}$ thì $a=\sqrt{2}$ .Thay vào tìm được $x=y=1$

-Nếu $b=2+\sqrt{2}$ thì $a=\sqrt{2}-2< 0$(vô lý do $a\geq 0$.

 Vậy $x=y=1$

Ta có :A=$1.(1+2+2^2+2^3+2^4)=(2-1)(1+2+2^2+2^3+2^4)=2^5-1$ nên A=B

Từ pt số 1 $= > y^2+y+1=-2xz$. Do $y^2+y+1=(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}> 0$ nên $-2xz> 0$ hay$xz< 0$(1) .Từ pt thứ 2 ta có :$2z^2=-x(2y+1)= >$0 nên $x(2y+1)\leq 0$(2) .Từ pt thứ 3 $= > x^2=-2z(2y+1)= >$$= > x^2=-2z(2y+1)\geq 0$ nên $z(2y+1)\leq 0$(3) .Nhân theo vế (2) và (3) suy ra $xz(2y+1)^2\geq 0$ nên $xz\geq 0$(4) .Từ (1) và (4) $= >$ vô lý  nên phương trình vô nghiệm

Gọi a là số cần tìm .Đặt $a=2x^2=3y^3=5z^5$. Từ đó suy ra $5z^5\vdots 2,5z^5\vdots 3$ nên $z\vdots 6$ .Đặt $z=6k$ nên $a=5.6^5.k^5$$= > \frac{x}{2}=5.2^4.6^5.k^5$. Do $\frac{x}{2}$ là số chính phương nên $5.3.k$ chính phương .Đặt $5.3.k=m^2$ suy ra A=$5^6.2^5.3^10.m^10$ .Do $\frac{x}{3}$ là số phương  và $\frac{x}{3}$ lại nhỏ nhất nên ta chọn $m=2$ .$= > a=2^15.3^10.5^6$ là số nhỏ nhất cần tìm

Đặt $2y=a,x^2y=b$ ta có hệ mới là :$(2-a)(b+1)=-2$và $2b-a^2-2a-\frac{1}{b^2}=-7$.Đến đây rút ẩn rồi thay vào là xong

Bài 4: Theo bđt côsi ta có :$(x+y^3)(y+z^3)(z+x^3)=(x+\frac{y^3}{4}+\frac{y^3}{4}+\frac{y^3}{4}+\frac{y^3}{4})(y+\frac{z^3}{4}+\frac{z^3}{4}+\frac{z^3}{4}+\frac{z^3}{4})(z+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4})\geq 5.\sqrt[5]{\frac{x.y^12}{4^4}}.5\sqrt[5]{\frac{yz^12}{4^4}}.5\sqrt[5]{\frac{z.x^12}{4^4}}=125.xyz.\sqrt[5]{\frac{x^8y^8z^8}{4^12}}\geq 125.xyz.5\sqrt[5]{\frac{2^8.2^8.2^8}{4^12}}= 125xyz$( Do $x\geq 2,y\geq 2,z\geq 2$) .Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$

Lấy pt đầu trừ theo vế cho pt sau ta có :$y^2-xy-3y+2x+1-y^2+4xy+3y-3x^2-2x+\frac{1}{2}=0$ hay $2xy-2x^2=1$$2xy-2x^2=1$ hay $y=\frac{1}{2x}+x=\frac{2x^2+1}{2x}$ .Thay vào pt (1) rồi phân tích nhân tử là ra

Ta có :$a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3-18ab+b^4+2005=(a^4+b^4)-ab(a^2+b^2)+a^2b^2-18ab+2005\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}-ab(a^2+b^2)+a^2b^2-18ab+2005=\frac{1}{2}.\left \{ \left ( a^2+b^2 \right )^2-2ab.(a^2+b^2)+a^2b^2 \right \}+\frac{1}{2}.(a^2b^2-36ab+324)+1843=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab)^2+\frac{1}{2}(ab-18)^2+1843\geq 1843$ nên A Min$=1843$ khi $a=b=3\sqrt{2}$

Đề bài đúng là :$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$.Sử dụng phép nhân liên hợp ta có :$\left ( \sqrt{5x^2+14x+9}-21 \right )-(\sqrt{x^2-x-20}-6)=5(\sqrt{x+1}-3)$ hay $\frac{(x-8)(5x+54)}{\sqrt{5x^2+14x+9}+21}-\frac{(x-8)(x+7)}{\sqrt{x^2-x-20}+6}=5.\frac{x-8}{\sqrt{x+1}+3}$  hay $\left ( x-8 \right ).\left \{ \frac{5x+54}{\sqrt{5x^2+14x+9}+21}-\frac{x+7}{\sqrt{x^2-x-20}+6}-\frac{5}{\sqrt{x+1}+3} \right \}=0$ ,Dựa vào ĐKXĐ ta suy ra $x-8=0$ hay $x=8$(Thỏa mãn)

Ta có :$\sum \frac{x^2}{x+y+y^3z}=\sum \frac{x^2}{x+y+\frac{y^2}{x}}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+xy}$ (do $xyz=1$). Mặt khác :$\sum \frac{x^2}{x^2+xy+y^2}=\sum \frac{1}{1+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}}$ .Đặt $\frac{y}{x}=a,\frac{z}{y}=b,\frac{x}{z}=c$ thì $abc=1$ .Lại đặt $a=\frac{mn}{p^2},b=\frac{np}{m^2},c=\frac{pm}{n^2}$ .Thay vào A ta có :A=$\sum \frac{1}{1+\frac{mn}{p^2}+\frac{(mn)^2}{p^4}}=\sum \frac{p^4}{p^4+m^2n^2+mnp^2}\geq \frac{(m^2+n^2+p^2)^2}{p^4+m^4+n^4+m^2n^2+p^2n^2+p^2m^2+mnp(m+n+p)}$ .

Ta sẽ CM A$\geq 1$ hay $(m^2+n^2+p^2)^2\geq m^4+n^4+p^4+m^2n^2+m^2p^2+n^2p^2+mnp(m+n+p)$ hay $m^2n^2+p^2m^2+p^2n^2\geq mnp(m+n+p)$ .Mặt khác theo bđt cosi ta có :$m^2n^2+p^2m^2\geq 2m^2pn,m^2n^2+n^2p^2\geq 2n^2pm,p^2m^2+n^2p^2\geq 2p^2mn$.Cộng theo vế các bđt suy ra đpcm .Dấu = xảy ra khi $m=n=p$ hay $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

Cộng theo vế 2 pt ta đưa về $2x^2+3xy+y^2-7x-5y+6=0$ hay $(x+y-2)(2x+y-3)=0$ .Xét các TH rồi thay vào pt (2) là ra