Hoang Tung 126

Đề bài thiếu đk :x,y $\geq$0Bình phương 2 vế của biểu thức A=$\left ( \sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y} \right )^2=2.(x+y)+2+2.\sqrt{(2x+1).(2y+1)}=2.(x+y+1)+2.\sqrt{4xy+2x+2y+1}$. Mặt khác , theo bđt bunhiacopxki ta có :$2.(x+y)\leq 2.\sqrt{2.(x^2+y^2)}=2.\sqrt{2},4xy+2x+2y+1 \leq 2.(x^2+y^2)+2.\sqrt{2.(x^2+y^2)}+1=3+2.\sqrt{2}$ nên A$^{2}$ $\leq$$2.\sqrt{2}+2+\sqrt{3+2.\sqrt{2}}$ hay A$\leq \sqrt{2.\sqrt{2}+2+\sqrt{2}+1}=\sqrt{3.\sqrt{2}+3}.$. Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .Mà $x,y\geq 0$ nên $xy \geq 0$ .Do $x^{2}+y^{2}=1$ mà $x,y \geq 0$ nên $x+y \geq x^{2}+y^{2}=1$.Thay vào A suy ra A$^{2}$$\geq 4+2.\sqrt{3}=\left ( \sqrt{3}+1 \right )^2$ nên A $\geq \sqrt{3}+1$. Dấu = xảy ra khi $x=0,y=1$ và hoán vị

Từ pt (1) ta có : $\sqrt{x}-1=\sqrt{x-y-1}$.Bình phương 2 vế ta được x theo y. Rút $\sqrt{x}= \frac{y+2}{2}$ từ pt (1) rồi thay vào (2) ta có :$y^{2}+\frac{(y+2)^2}{4}+\frac{2y.(y+2)}{2}-\frac{y^4+4y^3+4y^2}{4}=0$ hay $y^{4}+4y^3-5y^2-12y-4=0$ tương đương với :$\left ( y+1 \right ).\left ( y-2 \right ).(y^2+5y+2)=0$ ta được các nghiệm :$y=-1,y=2,y=\frac{\sqrt{17}-5}{2} và y=\frac{-(\sqrt{17}-5)}{2}.$ rồi thay vào tìm x là ra.

Thay $\frac{1}{z}$=t mà

Câu 1 : Áp dụng bdt bunhiacopxki ta có :A=$\sum \frac{a^2}{b+c}= \sum \frac{a^6}{a^4.(b+c)}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4.(b+c)}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$. Quy đồng rồi nhân chéo ta được bdt đúng là :$\left ( a+b \right ).(a-b)^4+\left ( b+c \right ).(b-c)^4+\left ( c+a \right ).(c-a)^4 \geq 0$ là đúng .Dấu = xảy ra khi a=b=c

Câu 1: Đặt vế trái là P.Ta có =$a^{2}b^{2}c^{2}+1+a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(\frac{3}{2}-abc)^2++(1-\left ( ab+bc+ac \right ))^2+(a+b+c)^2-\frac{5}{4}.$. Mà $abc\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^3}{27}=\frac{1}{8}$ nên $\left ( \frac{3}{2}-abc \right )^2 \geq (\frac{3}{2}-\frac{1}{8})^2=\frac{121}{64}$.Tương tự thì $\left ( 1-\left ( ab+bc+ac \right ) \right )^2\geq \frac{1}{16}$ .Cộng theo vế các bdt cùng chiều thì P $\geq \frac{125}{64}$.Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{2}$

Ta có :3y+6 $\geq$$\left ( (x^2+1)+(y^2+4)+(z^2+1) \right )$$\geq 2x+4y+2z$ nên $x+\frac{y}{2}+z \leq 3$.Áp dụng bdt $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ .Ta có =$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+8)^2}\geq \frac{64}{(3+5)^2}= 1$. Dấu = xảy ra khi $x= \frac{y}{2}= z$ hay x=z=1 và y=2

Chia cả 2 vế của để bài cho $a^{2}b^{2}c^{2}$ ta được $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$.Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. Thay vào đề bài thì A=$\sum \frac{x^3}{y^2+z^2}$\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.Dáu = xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$ hay a=b=c=3

Chia cả 2 vế của biểu thức đề bài cho z$^{2}$ rồi đặt $\frac{1}{z}$=t.Ta đưa về xy$^{2}$+x$^{2}$z+yz$^{2}$=3.Và P=$\frac{1}{x^4+y^4+z^4}$.Áp dụng bđt cosi cho 4 số ta có :$x^4+y^4+y^4+1 \geq 4xy^2,x^4+x^4+z^4+1\geq 4x^2z,z^4+z^4+x^4+1\geq 4z^2x.$Cộng theo vế suy ra $x^4+y^4+z^4 \geq 3$ nên P$\leq$$\frac{1}{3}$.Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Thay 1=(x+y)$^{3}$ vào A ta có $\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}+4 \geq 2.\sqrt{3}+4$(do x+y=1 và áp dụng bđt cosi cho 2 số dương

Theo nhị thức Newton ta có $1^{2013}+2^{2013}+....+n^{2013}$=(1+2+3+....+n).A luôn chia hết cho 1+2+3+....+n

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có :A=$\sum \frac{a^4}{2.b^3+3.c^3}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum (2.b^3+3.c^3)}$.Ta sẽ CM biểu thức đó $\geq$ $\frac{a+b+c}{5}$ băng phép biến đổi tương đương hay $\sum 5.a^6+\sum 5.a^3b^3 \geq \sum 2abc.\sum ab^2+3abc.\sum a^2b+3.\sum a^4b^2+2.\sum a^2b^4$.Theo bđt cosi cho 3 số ta có :$5.\sum a^3b^3 \geq 2abc.\sum ab^2+3abc.\sum a^2b$ và $5.\sum a^6 \geq 3.\sum a^4b^2+2.\sum a^2b^4$.Cộng theo vế suy ra bđt được CM.

Cho a,b,c là các số thực không âm.Tìm Max của :

 A=$\sum \frac{a^2}{3.a^2+(b+c)^2)}$

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD,CE cắt nhau ở H. Nối AH cắt DE ở K. Qua K vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AB,AC ở M,N. CM: $MN \geq \left ( \frac{1}{2+\sqrt{2}} \right ).(AB+AC).$

Tìm tất cả bộ 3 số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn : $(x+y).(xy+1) = 2^{z}$

Cho tập hợp A là một tập con của tập các số tự nhiên sao cho trong 1999 sô tự nhiên bất kỳ luôn có 1 số nằm trong A. CMR: Tồn tại hai số trong A sao cho số này chia hết cho số kia.