morningstar

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\leq 3\sqrt{2}$

CMR: $\frac{1}{\sqrt{8^{a}+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^{b}+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^{c}+1}}\geq 1$

Cho x.y.z > 0 thỏa mãn x+y-z=-1. Tìm GTLN 

P=$\frac{x^{3}y^{3}}{\left ( x+yz \right )\left ( y+zx \right )\left ( z+xy \right )^{2}}$

$\frac{\sqrt{2}\left ( \sin x -\cos x \right )^{2}\left ( 1 + 2\sin 2x \right )}{\sin 3x + \sin 5x} = 1 - \tan x$

Em khoái làm theo cách số phức. Lên google tìm mà chưa thấy bài nào nói kỹ về phương pháp này.
Em thấy nó khá độc đáo. Nhưng không biết còn dạng nào giải bằng số phức được? Anh Thành post lên cho mọi người tham khảo nhé .
Xin trình bày cách sử dụng số phức: ( Bài của anh Thành )

Nhân 2 vế PT 2 với $i$ rồi cộng lại ta được:

\[\begin{array}{l}
x + yi + \frac{{3x - y - \left( {x + 3y} \right)i}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\
\Leftrightarrow x + yi + \frac{{3\left( {x - yi} \right) - i\left( {x - yi} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\
\Leftrightarrow x + yi + \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {x - yi} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\
\Leftrightarrow z + \frac{{\left( {3 - i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} - 3 = 0;\,\,\left( {x + yi = z} \right) \\
\Leftrightarrow z + \frac{{3 - i}}{z} - 3 = 0\,\,\,;(z.\overline z = {\left| z \right|^2}) \\
\Leftrightarrow {z^2} - 3z + 3 - i = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 2 + i \\
z = 1 - i \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2;y = 1 \\
x = 1;y = - 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
@anh Thành :Anh ơi, sao em vào Bài #1 để xóa mấy cái Tag đi, xong Lưu thay đổi thì lại bị ghi là Tiêu đề quá dài. .

mình không hiểu tại sao từ nghiệm phức lại suy ra nghiệm thực đc vậy bạn?

 Đề Bài

 

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

Toán thủ ra đề: ho

 

 

 Đề Bài

 

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

Toán thủ ra đề: hoangkkk

Mình không phải là toán thủ thi đấu!

Phương trình tương đương: $2\sin 2x\cos 2x + 2 = 4cos^{3}x -2\cos x + 4\sin x$

                                                      $\Leftrightarrow 2\sin x\cos x\cos 2x + 1 = 2cos^{3}x - cosx + 2\sin x$

                                                      $\Leftrightarrow 2\sin x\left ( 2cos^{3}x - cosx \right ) + 1 = 2cos^{3}x - \cos x + 2\sin x$

                                                      $\Leftrightarrow \left ( 2\sin x - 1 \right )\left ( 2cos^{3}x - \cos x -1 \right ) = 0$

                                                      $\Leftrightarrow \left ( 2\sin x -1 \right )\left ( \cos x - 1 \right )\left ( 2cos^{2}x + 2\cos x + 1 \right ) = 0$

                                                      $\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}  hoăc  \cos x =1  hoăc  2cos^{2}x + 2\cos x + 1 = 0  ( vô  nghiêm)$

                                                      $\bigstar \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\Pi }{6} + k2\Pi  hoặc  x = \frac{5\Pi }{6} + k2\Pi  (k\in \mathbb{Z})$

                                                      $\bigstar \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\Pi  (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = k2\Pi  hoặc  x = \frac{\Pi }{6} + k2\Pi  hoặc  x = \frac{5\Pi }{6} + k2\Pi  (k\in \mathbb{Z})$

Tìm m để phương trình $\sqrt{2x^3-x^2+2x}=x^2+mx+1$ có nghiệm

 

ĐK $x \geq 0$

Xét x = 0. Pt $\Leftrightarrow$ 0x =1 (vô nghiệm)

Với x > 0. Chia cả hai vế của pt đã cho cho x $\neq$ 0 có:

$\sqrt{2x-1+\frac{1}{x}} = x+m+\frac{1}{x}$

Đặt $t = x+\frac{1}{x}$ Do x > 0 nên t $\geq$ 2

Pt $\Leftrightarrow$ $\sqrt{2t-1} = m +t$

    $\Leftrightarrow$ $m= \sqrt{2t-1}-t$

Xét hàm số F(t) = $\sqrt{2t-1}-t$ với t $\geq 2$

                   F'(t) = $\frac{1}{\sqrt{2t-1}}-1$ $  với mọi t $\geq 2$

Lập bảng biến thiên ta được $m\leq -2+\sqrt{3}$

Bài 1. Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}=4$

Bài 2. Giải phương trình: $8x^{3}-36x^{2}+53x-25=\sqrt[3]{3x-5}$

Bài 3. Giải phương trình:$4x^{3}+18x^{2}+27x+14=\sqrt[3]{4x+5}$

Bài 4. Giải phương trình:$9x^{2}-28x+21=\sqrt{x+1}$

Bài 5. Giải phương trình:$3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Bài 6. Giải phương trình:$x^{3}-6x^{2}+12x-7=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$

Bài 7. Giải phương trình:$x^{3}+3x^{2}+4x+2=(3x+2)\sqrt{3x+1}$

Bài 8. Giải phương trình:$3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^{2}}+1)=0$

Bài 9. Giải phương trình:( Đề nghị OLYMPIC 30-4-2009)

                                        $x^{3}-6x^{2}+12x-7=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$

Bài 10. Giải phương trình:$x^{3}-4x^{2}-5x+6=\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}$

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn abc=1 và $a,b\geqslant 1$

Chứng minh rằng:

P= $\frac{1}{(a^{2}-a+1)^{2}}$$+\frac{1}{(b^{2}-b+1)^{2}}$$+\frac{1}{(c^{2}-c+1)^{2}}$$\leqslant 3$