cat love math

Cho C ở ngoài AB. Dựng các tam giác vuông cân ACA' tại A và BCB' vuông tại B ngoài tam giác ABC . CMR: M cố định với M là trung điểm A'B' khi C thay đổi

Vẽ hình bình hành ACBD. Khi đó ta có: $AA'=AC=DB$

                                                               $AD=CB=BB'$

                                                               $\widehat{A'AD}=90+\widehat{CAD}=90+\widehat{CBD}=\widehat{DBB'}$

                                         $\Rightarrow \Delta A'AD=\Delta DBB' \rightarrow \Rightarrow DA'=DB'$    

Lại có: $\widehat{A'DB'}=180-\widehat{CAD}-(\widehat{ADA'}+\widehat{BDB'})=180-\widehat{CAD}-(\widehat{ADA'}+\widehat{AA'D})=180-\widehat{CAD}-(180-\widehat{DAA'})=\widehat{DAA'}-\widehat{CAD}=\widehat{CAA'}=90$

Nên suy ra tam giác DA'B' vuông cân ở D.

Khi đó ta suy ra: $\widehat{B'A'C}=\widehat{DA'A}$ (cùng cộng với góc CA'D bằng 45)

Mà $\widehat{DA'A}=\widehat{BDB'}\Rightarrow \widehat{B'A'C}=\widehat{BDB'}$.

Xét 2 tam giác MAA' và MDB có:

$AA'=BD$

$MA'=MD$

$\widehat{MA'A}=45+\widehat{MA'C}=45+\widehat{BDB'}=\widehat{MDB}$

$\Rightarrow \Delta MAA'=\Delta MBD.\Rightarrow MA=MB (1)$

Chứng minh tương tự, suy ra: $\Delta MAD=\Delta MBB'$

Suy ra: $\widehat{AMB}=\widehat{AMD}+\widehat{BMD}=\frac{(\widehat{AMA'}+\widehat{BMD})+(\widehat{AMD}+\widehat{BMB'})}{2}=\frac{180}{2}=90$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MAB vuông cân ở M => điểm M cố định.

1/ Cho đa giác n cạnh trên mặt phẳng tọa độ với các đỉnh nguyên và độ dài các cạnh nguyên. Chứng minh chu vi đa giác là một số chẵn.

2/ Trên mỗi ô của bảng ô vuông 8x8 có ghi một số, số này là tích của chỉ số hàng và chỉ số cột của ô ấy. Lấy ra 8 ô bất kì và trong 8 ô ấy không có 2 ô nào cùng nằm trong cùng một hàng hoặc nằm trong cùng một cột. Chứng minh rằng tích của các số nằm trong các ô này là ko đổi ?

4/ Cho hình (T) như sau:

Hỏi có thể phủ kín một hình vuông 10x10 bởi các hình này hay không?

Cho hình vuông ABCD cạnh a.Điểm M di động trên cạnh AB.Điểm N di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và =2a.Xác định vị trí của MN để S(CMN) đạt GTLN và tính GTLN đó

Kẻ CH vuông góc với MN tại H. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = DC.

Khi đó: $\Delta CDN=\Delta CBK$ => ND = BK

Ta có: AM + MN + AN = 2a = AB + AD = AM + MB + AN + ND => MN = MB + ND = MB + BK = MK 

Suy ra: $\Delta CKM= \Delta CNM\Rightarrow \widehat{CMK}=\widehat{CMN} \Rightarrow \Delta CBM=\Delta CHM\Rightarrow MB=MH\Rightarrow \Rightarrow HN=ND$

Khi đó ta có: $S_{ABCD}=S_{AMN}+2(S_{CMH}+S_{CNH})=S_{AMN}+2S_{CMN} \Rightarrow S_{CMN}=(S_{ABCD}-S_{AMN})/2=(a^{2}-\frac{1}{2}AM.AN)/2\leq \frac{a^{2}}{2}$.

Dấu đẳng thức khi N trùng A hoặc N trùng D. 

Cho tam giác ABC. P là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Phân giác góc APB, APC cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, APC tại các điểm K, L khác P. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL luôn đi qua điểm cố định khi P di chuyển.

Ps: Mình biết là trung điểm của BC nhưng không thể chứng minh, mong mọi người giúp đỡ.

Cho tam giác ABC, E, F cố định thuộc CA, AB. P di chuyển trên một đường tròn (K) cố định đi qua B, C. Gọi Q là một điểm cố định thuộc (K). QB, QC lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác PBF, PCE tại M, N. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển.

Cho điểm M ở bên trong tam giác ABC .Gọi A1 ,B1,C1 lần lượt là giao điểm của MA và BC,MB và AC ,MC và AB .Gọi A3 là trung điểm của A1A2.Các điểm B2,B3,C2,C3 được định nghĩa tương tự.Gọi O,H lần lượt là tâm đương tròn ngoại tiếp ABC và trực Tâm A1B1C1.Chúng minh A3,B3,C3 cùng thuộc đường thẳng vuông góc vs OH

Đề của bạn cho thiếu A2, B2, C2 rồi!

Nếu A2, B2, C2 theo thứ tự là giao điểm của B1C1 với BC, C1A1 với CA, A1B1 với AB thì mình có cách giải như sau:

Gọi A1A1', B1B1', C1C1' là các đường cao của tam giác A1B1C1. (A3), (B3), (C3) lần lượt là các đường tròn đường kính A1A2, B1B2, C1C2. Ta đi chứng minh

H và O đều có cùng phương tích với (A3), (B3), (C3). Khi đó ta có HO cùng vuông góc với A3B3 và A3C3 => (đpcm)

Dễ thấy A, B không thuộc $\Delta$. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra I có tọa độ là (-1;1). Gọi K là trung điểm OI, suy ra K có tọa độ là (-1/2;1/2).

Ta có: $\vec{AM}+\vec{BM}=(\vec{AO}+\vec{OM})+(\vec{BO}+\vec{OM})=\vec{AO}+\vec{BO}+2\vec{OM}=2\vec{IM}+2\vec{OM}=4\vec{KM}$

Do đó: $\left | \vec{AM}+\vec{BM} \right |=\left | 4\vec{KM} \right |= 4KM$

Vì M thuộc $\Delta$ nên M có dạng: (a;2a-1). Suy ra: $KM^{2}=(\frac{-1}{2}-a)^{2}+(\frac{1}{2}-2a+1)^{2}=5a^{2}-5a+\frac{5}{2}=5(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{4}\geq \frac{5}{4}$

$\Rightarrow 4KM\geq 2\sqrt{5}$ . Vậy $\left | \vec{AM}+\vec{BM} \right |$ đạt min=$2\sqrt{5}$ khi a=1/2, tức M(1/2;0).

d) Ta có 2 tam giác OBI và ABC đồng dạng nên: $\frac{BO}{BI}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{2BM}{BI}= \frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{BM}{BI}= \frac{BA}{2BC}= \frac{BA}{BN}$. Lại có góc B chung nên 2 tam giác MBI và ABN đồng dạng. Suy ra góc MIB = góc ANB, suy ra điều phải chứng minh.