MathSpace001

Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ và $a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1$

                    Tính P=$\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}$

  Mình kiểm tra lại thì thấy lộn dấu thật.

Câu 1 Với m,n,a,b,x,y thuộc N,ta

Gọi năm mà người đó đến trường là $\overline{199n}$($0\leq n\leq 9$)(do Một ngày thập kỉ cuối cùng của thế kỉ XX)

Gọi năm sinh của Mai là $\overline{19xy}$($0\leq x,y\leq 9$)

Gọi năm sinh của bạn mai là \overline{19ab}$($0\leq a,b\leq 9$)

Ta có tuổi của Mai=$\overline{199n}-\overline{19xy}$=10m+n-10x-y

          tuổi của bạn Mai =\overline{199n}-\overline{19ab}$=10m+n-10a-b

Theo đề ra ta có   90+n-10x-y=90+n-10a-b+1

                        <=>90+n-10x-y-90-n+10a+b=1

                        <=>10(a-x)+(b-y)=1

Vì 2 người này chỉ hơn nhau 1 tuổi nên xảy ra 2 trường hợp 

*Trường hợp 1:         a=x, b=y+1

Nhưng tổng các chữ số năm sinh của 2 em là số chẵn => Tổng các chữ số năm sinh của Mai= 10+x+y

                                                                                            Tổng các chữ số năm sinh của bạn Mai =10+a+b=10+x+y+1

Rõ ràng 10+x+y và 10+x+y+1 là 2 số liên tiếp nên không xảy ra trường hợp này.

*Trường hợp 2:         a-x=1 => b-y= -9 hay y-b=9( nếu a-x>1 thì học sẽ hơn nhau số tuổi >1)

vì 0\leq y\leq 9; 0\leq b\leq 9=>y=9; b=0$\overline{19a0}=\overline{19x9}+1 và để tổng các chữ số của 2 năm sinh trên chẵn thì a chắn , x lẻ=>x=1;3;5;7; a= 2;4;6;8$

Có lẽ 2 em này là học sinh nên ông ta lấy x=7; a=8 vì nếu x và a nhận các giá trị còn lại thì 2 bạn này chẳng phải là em học sinh nữa.

b.   để có đẳng thức trên ta phải chứng minh 2(a⁴+b⁴+c⁴)=(a²+b²+c²)²

Ta có     2(a⁴+b⁴+c⁴) - (a²+b²+c²)²

           = 2(a⁴+b⁴+c⁴)-(a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2a²c²)

          = a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a= (a⁴-2a²b²+b⁴)-2c²(a²-b²)+c⁴-4b²c²

          = (a²-b²)²-2c²(a²-b²)+c⁴-(2bc)² 

          = (a²-b²-c²)²-(2bc)²

          = (a²-b²+2bc-c²)(a²-b²-2bc-c²)

          = (a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)

          =0

1.a,(3-1)(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3¹⁶+1)(3³²+1)$\frac{1}{2}$
Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b)=a²-b²là được


1,b (a+b-c)²+(a-b+c)²-2(b-c)²=(a+b-c)²-(b-c)²+(a-b+c)²-(b-c)²=(a+b-c+b-c)(a+b-c-b+c)+(a-b+c+b-c)(a-b+c-b+c)=a(a+2b-2c)+a(a-2b+2c)=2a²
Hoặc bạn có thể tách (a+b-c)²=a²+2a(b-c)+(b-c)²
(a-b+c)²=a²-2a(b-c)+(b-c)²
=> .......


1c với d dùng hằng đẳng thức thứ 1 và 2


3.7778²-2223²=(7778+2223)(7778-2223)=10001.5555=55555555

C32        

Ta có A= 174^2n-1+1212.1037²ⁿ⁺¹phải chia hết cho 3 và 1211 vì (3;1211)=1 và 3.1211=3633

+)    1+7+4=12$\vdots 3$; 1+2+1+2=6$\vdots 3$=> A chia hết cho 3

+)     1211$\equiv 1(mod 1211)$; 174$\equiv -1037(mod 1211)$=> A$\equiv$1037²ⁿ⁺¹-1037^2n-1=1037²ⁿ(1037-$\frac{1}{1037}$) chia hết cho 1211

=> A chia hết cho 3633

C35,   Đặt biểu thức đó là A

 $A= \frac{\left ( b-c \right )\left ( 1+a^{2} \right )}{x+a^{2}}-\frac{\left ( b-c \right )\left ( 1+b^{2} \right )}{x+b^{2}}-\frac{\left ( a-b \right )\left ( 1+b^{2} \right )}{x+b^{2}}+\frac{\left ( a-b \right )\left ( 1+c^{2} \right )}{x+c^{2}}$

Đặt b-c và a-b làm nhân tử chung rồi qui đồng thì sẽ ra kết quả là x=ab+bc+ca

Sao topic này đăng lâu rồi mà không có ai bình luận nhỉ?

Chứng minh n là số nguyên dương thì $5^{n}(5^{n}+3^{n})-2^{n}(9^{n}+11^{n})\vdots 21$

C2:  Đặt A = 5ⁿ (5ⁿ + 3ⁿ) - 2ⁿ(9ⁿ + 11ⁿ) 

n là số nguyên dương nên áp dụng phép qui nạp toán học, ta xét

 

+)n=1. Khi đó A= 5(5+3)-2(9+11)=0 $\vdots 21$

 Cho n=k , giả sử, 5^k(5^k+3^k)-2^k(9^k+11^k) $\vdots 21$

Khi đó ta phải chứng minh A vẫn chia hết cho 21 khi n= k+1

Ta có A= $5^{k+1}(5^{k+1}+3^{k+1})-2^{k+1}(9^{k+1}+11^{k+1})

=25^{k+1}+15^{k+1}-18^{k+1}-22^{k+1}

=25^{k}.25+15^{k}.15-18^{k}.18-22^{k}.22$

=$25^{k}.22-22^{k}.22+3.25^{k}+15^{k}.15-18^{k}.15-18^{k}.3

=22(25^{k}-22^{k})+3.25^{k}+15^{k}.15-18^{k}.15-18^{k}.3\vdots 3$

Ta lại có

A= 25^k.18-18.18^k+25^k.7+15^k.15-22^k.15

  = 18(25^k-18^k)+25^k.7-15(22^k-15^k)\vdots 7$

Vì A chia hết cho 3 và 7 mà (3;7)=1 => A\vdots 21$

Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c})+(1+\frac{b}{a}+\frac{b}{c})+(1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\geq 3+2+2+2=9(DPCM) 

  Áp dụng BĐT Cô-si ta có:       $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}

                                                 \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

 =>$\left ( a + b + c \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )\geq 9\sqrt[3]{abc.\frac{1}{abc}}=9$

2b, Đặt A = $\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}$

       <=>A=$\frac{3}{2^{2}}+\frac{8}{3^{2}}+\frac{15}{4^{2}}+...+\frac{9999}{100^{2}}$

=>A có 99 phân số

 Ta có: A=$1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+1-\frac{1}{16}+...+1-\frac{1}{10000}=99-(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{10000})<99$

Mặt khác $\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{10000}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}<1$

=> A>98=>98<A<99

3a,                         2a= by + cz

                 $=> 2 = \frac{ax + by}{a}$

                   => x + 2= $\frac{ax + by + cz}{a} => \frac{1}{x + 2}= \frac{a}{ax + by + cz}$ 

 Tương tự $\frac{1}{y + 2}=\frac{b}{ax + by + cz}$

                  $\frac{1}{z + 2}=\frac{c}{ax + by + cz}$ 

 => $\frac{1}{x +2}+\frac{1}{y + 2}+\frac{1}{z + 2}= \frac{a + b + c}{ax + by + cz}= 0$

Cho a > 1, b > 1

Chứng minh $\frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} > \frac{2}{ab + 1}$

Bài 1: Cho x + y = 1; x > 0, y > 0. Tìm GTNN của

          a) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

          b) $(x + \frac{1}{x})^{2} + (y + \frac{1}{y})^{2}$

Bài 2: Cho x, y cùng dấu. Tìm GTNN của $P=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{xy}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Mình nghĩ là sai rồi,theo lý thuyết là không được là thế vì như thế là bạn khẳng định a=b=c rồi nên có thể dẫn đến thiếu TH 

Thế nên mình mới viết cái câu đầu tiên