Cho $\mu$ là một độ đo $\sigma$-hữu hạn trên $\Omega$, và $p\in[1,\infty]$. $A$ là tập con tiền compact của $L^p(\Omega)$. Khi đó với mỗi $\epsilon>0$, tồn tại tập đo được $K_\epsilon $ với độ đo hữu hạn sao cho
$\int_{\Omega\backslash K}|f|^pd\mu<\epsilon ~~\forall f\in A$.
Bài toán của cuonglan là trường hợp đặc biệt với $\Omega=\mathbb{N}$ và $\mu$ là độ đo đếm.
Chứng minh:
Ở đây ta chỉ chứng minh với $p=1$. Trường hợp $p$ bất kỳ là gần như y hệt.
Giả sử ngược lại, rằng tồn tại $\epsilon>0$ sao cho với mọi tập đo được $K$ với độ đo hữu hạn trong $\Omega$, tồn tại $f_K\in A$ sao cho
$\int_{\Omega\backslash K}|f_{K}|d\mu\ge\epsilon $
Vì $\mu$ là độ đo $\sigma$-hữu hạn nên có một dãy tăng các tập đo được $(K_n)$ trong $\Omega$ sao cho $\mu(K_n)<\infty$ và
$\bigcup_{n=1}^{\infty}K_n=\Omega$
Với mỗi $n\in\mathbb{N}$, tồn tại $f_n\in A$ sao cho
$\int_{\Omega\backslash K_n}|f_{n}|d\mu\ge\epsilon $
Vì $A$ tiền compact nên $(f_n)$ có một dãy con hội tụ trong $L^p(\Omega)$. Không mất tính tổng quát ta ký hiệu dãy con này là chính dãy $(f_n)$
$f_n\to f\in L^1(\Omega)$
Ta có
$||f_n-f||=\int_{\Omega}|f_n-f|d\mu\ge\int_{\Omega\backslash K_n}|f_n-f|d\mu\ge\int_{\Omega\backslash K_n}|f_n|d\mu-\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu\ge\epsilon -\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu$ (*)
Hơn nữa, theo định lý hội tụ bị chặn thì
$\int_{K_n}|f|d\mu\to\int_{\Omega}|f|d\mu$, tức là $\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu\to 0$.
Do đó (*) vô lý vì $||f_n-f||\to 0$.
- MIM yêu thích