iloveyouproht

Sao lại thế nhỉ, phải là:

$-1\leq cos3x\leq 1;-1\leq sinx\leq 1$

Đã sửa r ạ :v Mình rõ nhầm :v

Giải:

 $2cos2xcosx-cosx-sinx-2=0$

Ta có : $2cos2xcosx-cosx-sinx-2=0 <=>cos3x+cosx-cosx-sinx=2 <=>cos3x-sinx=2$

Mà $-1\leq cos3x;sinx\leq 1$

Nên Muốn VT=VP -> $\left\{\begin{matrix} cos3x=1 & & \\ sinx=-1 & & \end{matrix}\right.$

   Đến đây b tự giải lấy nghiệm nhá  

Tài liệu này dc úp trên trang lttk mà giá mua là 50k khá chát. Nên mình đóng thành pdf  để mọi người in và dùng free . Nhớ like và share nếu thấy tài liệu bổ ích

https://drive.google...aXZrbmlHYXkxVVk

tks thím <3

Bài 1

Tìm $maxP=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y\neq0\\ xy(x+y)=x^2-xy+y^2 \end{matrix}\right.$

Bài 2

Tìm $minP=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{3}{xy}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y>0\\ x+y\leq 1 \end{matrix}\right.$

p/s: hóng lời giải dùng hàm số.

1. ( cách khác )

Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. CMR : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}\geq 3$

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sqrt{(a+b+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c)}}\geq 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sum a^{2}+\sum a}=\frac{4 \sum a^{2}+2\sum a}{\sum a^{2}+\sum a}=2+\frac{2\sum a^{2}}{\sum a^{2}+3}=2+\frac{2}{1+\frac{3}{\sum a^{2}}}\geq 2+\frac{2}{1+\frac{9}{(\sum a)^{2}}}=3$(đpcm)

cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=3 

tìm GTNN của $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}$

Ta có ; $\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+a}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+1)=\frac{1}{b}-\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}$

tương tự . Cộng lại ta được : $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{4a}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(\sum \frac{1}{a})-\frac{3}{4}\doteq \frac{3}{4}(\frac{9}{a+b+c})-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$ . Chứng minh rằng $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\leq \sqrt{5}$

giả sử c=min(a,b,c)

 $P=(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})(a^{2}-c^{2})$ nếu $a\geq b$ thì $P\leq 0$ (BĐT Đúng )

Nếu b>a . Ta có :

$P\leq a^{2}b^{2}(b^{2}-a^{2})$

$P^{2}\leq a^{4}b^{4}(b^{2}-a^{2})^{2}= a^{4}b^{4}(b+a)^{2}(b-a)^{2}\leq 5a^{4}b^{4}(b-a)^{2}$

Mà theo AM-GM : $a^{4}b^{4}(b-a)^{2}\leq \left [ \frac{(b-a)^{2}+ab+ab+ab+ab}{5} \right ]^{5}=\left [ \frac{(a+b)^{2}}{5} \right ]^{5}\leq 1$

=> $P\leq \sqrt{5}$ ( ĐPCM )

Dấu = xảy ra khi $(b-a)^{2}=ab$ và $a+b=\sqrt{5}$ ( cái nhiệm này b tự giải nhá ) 

Giả sử $A,B,C$ là ba góc của một tam giác nhọn. 

Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC}}+\sqrt{\frac{cosBcosC}{cosA}}+\sqrt{\frac{cosCcosA}{cosB}}> 2$

Đào mộ ạ :v

____________________________________

BĐT <=> $\sum \sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{2a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}> 2$

Đặt : $a^{2}+b^{2}-c^{2}=x;b^{2}+c^{2}-a^{2}=z;c^{2}+a^{2}-b^{2}=y$

Ta cần cm : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$

Đúng vì : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}=\frac{xy}{\sqrt{xy.z(x+y)}}\geq 2(\sum \frac{xy}{xy+yz+zx})=2$

Dấu = xảy ra khi một trong các số xy;yz;zx=0 . Điều này không thể do đó :

$\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$ hay : $\sum \sqrt{\frac{CosACosB}{CosC}}>2$

ngắn gọn

$(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 4ab+\frac{a+b}{2}$

mà : $2ab+\frac{a}{2}\geq 2a\sqrt{b}$ 

        $2ab+\frac{b}{2}\geq 2b\sqrt{a}$

=>đpcm

Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\left ( \frac{1}{( a-b)^{2}}+\frac{1}{( b-c)^{2}}+\frac{1}{( c-a)^{2}} \right )\geq \frac{27}{4}$

bài toán 4 nha b  

link : https://julielltv.wo...huc-quan-trong/

2.cho a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ cmr  $\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

đã có ở đây : https://diendantoanh...32/#entry676259

Cho a, b, c dương thỏa a+b+c=3. CMR : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

Ta có : P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

Đặt : $\left ( \frac{b}{a};\frac{c}{b} ;\frac{a}{c}\right )->\left ( x;y;z \right )$

=>xyz=1

P=$\frac{1}{x^{2}+x+1}$

Tiếp tục đặt : $\left ( x;y;z \right )->\left ( \frac{np}{m^{2}};\frac{nm}{p^{2}};\frac{pm}{n^{2}} \right )$

Ta đưa bđt về cần cm : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}$

Mà : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}}$

BĐT sẽ được CM nếu chỉ ra : $(\sum m^{2})^{2}\geq \sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}$

Hay : $\sum m^{2}n^{2}\geq mnp(\sum m)$(bất đẳng thức này đúng theo cauchy)

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh

     $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{9}{4}$

P=$\sum \frac{a}{a+bc}=\sum \frac{a}{a(\sum a)+bc}=\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}=\frac{2(\sum ab)}{\prod (a+b)}$

Ấp dụng bđt : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$

=> P$\leq \frac{2(\sum ab)}{\frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)}= \frac{9}{4}$(đpcm)

cho $a,b,c>0$ .CMR:

$ \frac{a}{\sqrt{2a+b}} +\frac{b}{\sqrt{2b+c}} +\frac{c}{\sqrt{2c+a}} \leq \sqrt{a+b+c}$

Ta có : P=$\frac{a}{\sqrt{2a+b}}\leq \sqrt{(\sum a)(\sum \frac{a}{2a+b})}=\sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\sum \frac{b}{2a+b})}= \sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\sum \frac{b^{2}}{2ab+b^{2}})}\leq \sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\frac{(\sum a)^{2}}{(\sum a)^{2}})}=\sqrt{\sum a}$(đpcm)

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc,,,,

Chứng minh rằng $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leq 8$

 

Đây là đề thi tỉnh em hôm nay ,,đăng lên để mọi người tham khảo @@

Đào mộ

Đặt (x,y,z)->(a-1,b-1,c-1) => x,y,z>0

Ta có :

GT=> $\sum (x+1)(y+1)=\prod (x+1)<=>\sum x+2=xyz$

Ta cần cm : $\prod (a+b-c)\leq 8$

từ GT => $\sum x\geq 6$ => $xyz=\sum x+2\leq \frac{4(\sum x)}{3}$

Hay $\frac{xyz}{\sum x}\leq \frac{4}{3}$

Ta chỉ việc chứng minh : $\frac{xyz}{\sum x}\sqrt{\frac{27xyz}{\sum x}}\geq \prod (x+y-z)$

                           <=> $27x^{3}y^{3}z^{3}\geq (\sum x)^{3}\prod (x+y-z)^{2}$

Bây giờ lại đặt x+y-z=m ; y+z-x=n ; z+x-y=p => 2x=m+p ; 2y=m+n ; 2z=n+p 

Ta đưa bđt về cần cm : $27\prod (m+n)^{3}\geq 512m^{2}n^{2}p^{2}(\sum m)^{3}$

 Vì $9\prod (m+n)\geq 8( m+n+p)( mn+np+pm)$

Nên ta chỉ cần cm : $(m+n+p)^{3}( mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}(m+n+p)^{3}$

              <=> $(mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}$ ( đúng theo cauchy )

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=3