QQspeed22

Ta có số tam giác tạo thành là

 $C_{10}^{2} . n + C_{n}^2 . 10 = 1725 => n = 15$

ĐK : x^3- 3x + 1 $\geq$ 0 và $-\sqrt{\frac{8}{3}} \leq x \leq \sqrt{\frac{8}{3}}$

Pt tương đương $(x^3 - 3x + 1)^2 = 8 - 3x^2$

=> $(x^2-x-1)(x^4+x^3-4x^2-x+7)$ = 0

=> $x^2 - x - 1 = 0$ (1) hoặc $x^4+x^3-4x^2-x+7 = 0$ (2)

* Giải (1) => $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

* Giải (2) => $(x^2-2)^2 + x^{3} - x + 6 = 0$

Vì $x > -\sqrt{\frac{8}{3}}$ => x^3 - x + 6 > 0

=> (2) vô nghiệm

Kết hợp vs dk suy ra nghiệm

CM cắt AC sao tại Q được

A = $-3x^2 + 4x - 2015 = -3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{2015}{3} ) = -3((x - \frac{2}{3})^2 + \frac{6041}{9}) \leq -3 . \frac{6041}{9} = \frac{-6041}{3}$

Dấu = xảy ra <=> x = $\frac{2}{3}$

Vậy min A = $\frac{-6041}{3}$

Biểu thức B tương tự

Bài 2:
a)Tìm $GTLN$ của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$ với $0\leq x\leq 5$
 

a) Ta có : $x\sqrt{6 - x} + (5 - x)\sqrt{x + 1} = (\sqrt{6 -x} . \sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{6 -x} + \sqrt{x + 1})$

Áp dụng cauchy suy ra $\sqrt{6 -x} . \sqrt{x + 1} \leq \frac{6 - x + x + 1}{2} = 3,5$

Áp dụng bunhia suy ra $(\sqrt{6 -x} + \sqrt{x + 1})^2 \leq (1^2 + 1^2)(6 - x + x + 1) = 14$

Suy ra $\sqrt{6 -x} + \sqrt{x + 1} \leq \sqrt{ 14}$

Từ đó suy ra $P \leq \frac{5}{2} . \sqrt{14}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 6 - x = x + 1 hay x = 2,5

 

195. Cho $f\left ( n \right )= \left ( n^{2}+n+1 \right )^{2}+1$ với $n\in N$

      Đặt $P_{n}=\frac{f\left ( 1 \right ).f\left ( 3 \right ).f\left ( 5 \right )...f\left ( 2n-1 \right )}{f\left ( 2 \right ).f\left ( 4 \right ).f\left ( 6 \right )...f\left ( 2n \right )}$

 

        Chứng minh rằng: $P_{1}+P_{2}+P_{3}+...+P_{n}< \frac{1}{2}$

 

p/s: mình lược bài hình rồi, do lười đánh

 

 

Ta có $$f\left ( n \right )= \left ( n^{2}+n+1 \right )^{2}+1 = (n^2+1)(n^2+2n+2))$$

Áp dụng cho $P_{n}$ ta có 

$P_{n} = \frac{2.5.10.17.26.37.....[(2n - 1)^2 + 1)][(2n - 1)^2 + 2(2n - 1) + 2)]}{5.10.17.26.37.50....[(2n)^2 + 1)][(2n)^2+2.2n + 2)]} = \frac{2}{4n^2+ 4n + 2} = \frac{1}{2n^2+2n + 1} < \frac{1}{2n^2 + 2n} = \frac{1}{2} . ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$

Thay vào đpcm  ta có 

$VT < \frac{1}{2} .( 1 - \frac{1}{n}) < \frac{1}{2}$ ( đpcm)