Tìm kiếm
Nam
Ta có $P \geqslant 2(x+y+z)+2(\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}})\geqslant 4(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geqslant 12> 1$ 
- tpdtthltvp yêu thích
quoccuonglqd
#633981 $P = \dfrac{a^2 + bc}{b + ca} + \dfrac...
Gửi bởi
trong 18-05-2016 - 22:04
#633236 $\frac{a}{\sqrt{b^{2}+2c}...
Gửi bởi
trong 15-05-2016 - 11:44
Áp dụng Holder $(\frac{a}{\sqrt{b^{2}+2c}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+2a}}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+2b}})^{2}(a(b^2+2c)+b(c^2+2a)+c(a^2+2b))\geqslant (a+b+c)^{3}$
Áp dụng bổ đề $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^{3}}{27}$
$\frac{(a+b+c)^{3}}{a(b^2+2c)+b(c^2+2a)+c(a^2+2b)}=\frac{(a+b+c)^{3}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc-1+2(ab+bc+ca)}\geqslant \frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{4(a+b+c)^{3}}{27}-1+2(ab+bc+ca)}=\frac{27(a+b+c)^{3}}{4(a+b+c)^{3}-27+54(ab+bc+ca)}$
Đổi biến $(a+b+c,ab+bc+ca,abc)\rightarrow (p,q,r)$ với $r=1$
Ta cần chứng minh $\frac{27p^{3}}{4p^{3}-27+54q}\geqslant 3$
$\Leftrightarrow 27p^{3}+81\geqslant 12p^{3}+162q$
$\Leftrightarrow 15p^{3}+81\geqslant 162q$
Đúng từ
$9(p^{3}+9)\geqslant 9.4pq\geqslant 108q$(Schur)
$6p^{3}\geqslant 18p^{2}\geqslant 54q$
- quangtq1998 và Element hero Neos thích
#625732 $3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^{2...
Gửi bởi
trong 07-04-2016 - 20:51
#623763 Tìm GTLN của $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy...
Gửi bởi
trong 30-03-2016 - 22:25
Xét $\frac{x}{1+xyz}-\frac{x}{1+yz}=\frac{xyz(1-x)}{(1+yz)(1+xyz)}\geqslant 0$
$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}\leqslant \frac{x}{1+xyz}$
Tương tự ta thu được $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}\leqslant \frac{x+y+z}{1+xyz}$
$a,b,c \in [0,1]\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geqslant 0\Rightarrow 1-abc+ab+bc+ca\geqslant a+b+c$
$ab,bc,ca \in [0,1]\Rightarrow (1-ab)(1-bc)(1-ca)\geqslant 0\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 1-a^{2}b^{2}c^{2}+abc(a+b+c)\leqslant 1-a^{2}b^{2}c^{2}+abc(1-abc+ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant \frac{1-2a^{2}b^{2}c^{2}+abc}{1-abc}$
$P\leqslant \frac{a+b+c}{1+abc}+abc\leqslant \frac{3-2a^{2}b^{2}c^{2}-abc}{(1-abc)(1+abc)}-1+abc$
Ta khảo hàm $f(abc)$ với $0\leqslant abc\leqslant 1$
- Ngoc Hung yêu thích
#623521 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}...
Gửi bởi
trong 29-03-2016 - 21:54
Dùng phép đổi biến $(a,b,c)\rightarrow (\frac{x}{y+z},\frac{y}{z+x},\frac{z}{x+y})$
Bài toán trở thành
- Hieutran2000 yêu thích
#620870 $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{4}{3}$
Gửi bởi
trong 18-03-2016 - 06:56
Theo Cauchy-Swarchz : $ax^3+bx^2+cx \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)}$
Do đó $-x^4-1 \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)}$
Suy ra $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2}$ (1)
Ta có $x^4+x^2+1 \le \frac{3}{2}(x^4+1)$ (theo Cauchy)
Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2} \ge \frac{2(x^4+1)}{3x^2} \ge \frac{4}{3}$ (đpcm)
Có vấn đề ở đây
#620784 $\sum \frac{ab}{c+ab} \geq \frac...
Gửi bởi
trong 17-03-2016 - 20:26
$\sum \frac{ab}{c+ab}=\sum \frac{ab}{(a+c)(b+c)}=\sum \frac{a^{2}b^{2}}{(ab+bc)(ab+ac)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{\sum (ab+bc)(ab+ac)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{\frac{4(ab+bc+ca)^{2}}{3}}=\frac{3}{4}$
Áp dụng AM-GM
$\frac{2ab}{c+ab}+\frac{1}{2}\geqslant 2\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$
Tương tự ta sẽ thu được $\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}+\frac{3}{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}})$
Mà $\sum \frac{2ab}{c+ab}\geqslant \frac{3}{2}$(theo chứng minh ở trên)
$\Rightarrow \sum \frac{4ab}{c+ab}\geqslant \sum \frac{2ab}{c+ab}+\frac{3}{2}\geqslant 2\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\Rightarrow \sum \frac{2ab}{c+ab}\geqslant \sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$
- nuoccam yêu thích
#620500 $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \sqrt{...
Gửi bởi
trong 16-03-2016 - 10:36
Áp dụng Holder :$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})^{2}[a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)]\geqslant (a+b+c)^{3}$
Ta cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{c}{a+b}})^{2}[a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)}\geqslant \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Đặt $ab+bc+ca=q,abc=r$ bất đẳng thức tương đương $(q-r)(3-q)\geqslant 0$(luôn đúng)
- ineX yêu thích
#620282 Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\sqrt[4]{\frac{a}...
Gửi bởi
trong 14-03-2016 - 21:17
Mình từng làm 1 bài thế này $(\frac{a}{b+c})^{n}+(\frac{b}{c+a})^{n}+(\frac{c}{a+b})^{n}\geqslant max(2,\frac{3}{2^{n}})$ với $n \in (0,1)$
Nhưng đây là chứng minh nên mình không chú ý về điểm cực trị,nhưng đối với bài tìm cực trị như thế này thì có lẽ không ổn
- Tran Thanh Truong yêu thích
#620244 Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\sqrt[4]{\frac{a}...
Gửi bởi
trong 14-03-2016 - 20:02
Áp dụng AM-GM $\frac{3(a+b+c)}{a}=3\frac{b+c}{a}+3\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{3(b+c)}{a}}$
$\Rightarrow \frac{3}{4}\frac{a+b+c}{a}\geqslant \sqrt[4]{\frac{3(b+c)}{a}}$
$\Rightarrow \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{27}}\frac{a}{a+b+c}$
Tương tự ta thu được $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{27}}$
- marcoreus101, PlanBbyFESN, royal1534 và 1 người khác yêu thích
#619957 $\sum \frac{a}{(b+c)^{n}}\g...
Gửi bởi
trong 12-03-2016 - 22:35
Áp dụng Holder $(a+b+c)^{n-1}(\frac{a}{(b+c)^{n}}+\frac{b}{(a+c)^{n}}+\frac{c}{(b+a)^{n}})\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})^{n}\geqslant \frac{3^{n}}{2^{n}}$
- tquangmh yêu thích
#619951 $x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$
Gửi bởi
trong 12-03-2016 - 22:19
Giả sử $x\geqslant y\geqslant z\Rightarrow x^{2}+z^{2}\leqslant (x+\frac{z}{2})^{2},y^{2}+z^{2}\leqslant (y+\frac{z}{2})^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{(y+\frac{z}{2})^{2}+2}$
Lại có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\geqslant \sqrt{(x+\frac{z}{2})(y+\frac{z}{2})}\Leftrightarrow \frac{3z^{2}}{4}+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geqslant 0$
Đổi biến $(x+\frac{z}{2},y+\frac{z}{2})\rightarrow (a,b)$
Ta tìm cực trị $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\sqrt{ab}$ với $a,b \in [0,2]$, $a+b=3$
Thay $b=3-a$ và xét hàm f(a),ta tìm được cực trị tại $(a,b)=(1,2)$ hoặc $(2,1)$
- quangtq1998 yêu thích
#619895 $\sum \frac{a}{4b^{2}+1}\ge...
Gửi bởi
trong 12-03-2016 - 17:23
#619776 $P=(a^5+b^5+c^5)(\dfrac{1}{a^5}+\dfrac...
Gửi bởi
trong 11-03-2016 - 21:50
Biến đổi điều kiện $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+\frac{a+b}{c}+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geqslant 1+2\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 7$
$P=3+\frac{c^{5}}{a^{5}+b^{5}}+\frac{a^{5}+b^{5}}{c^{5}}+\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}\geqslant \frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}+2\sqrt{\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}+2}$
Ta có thể biến đổi $\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}$ theo $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Và dồn về $f(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$ với $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 7$
p/s:bài này có điểm cực trị rất lạ,khi đánh giá ta nên tạm bỏ qua bước dự đoán điểm rơi
- dunghoiten yêu thích
#619648 $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+...
Gửi bởi
trong 11-03-2016 - 08:30
Bất đẳng thức tương đương
$(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}})^{3}.3xyz\geqslant 3xyz.(xy+yz+xz)^{3}$
Áp dụng C-S $(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}})^{3}.3xyz\geqslant (x+y+z)^{4}$
Ta cần chưng minh $(a+b+c)^{4}\geqslant 3xyz.(xy+yz+zx)^{3}$
Đúng từ
$x+y+z\geqslant xy+yz+zx$($(x+y+z)^{2}\geqslant 3(xy+yz+zx)\geqslant (x+y+z)(xy+yz+zx)$)
$3xyz\leqslant 3\sqrt[3]{xyz}\leqslant x+y+z$($xyz\leqslant 1$)
- minhhien2001 yêu thích
