thuylinhnguyenthptthanhha

1/ Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$
 

Bài toán:

   **Cho $a,b>0$ thỏa mãn $(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b})\geq 9.$

1/Cho các số x,y,z t/m: $x^2+xy+y^2=3$ và $y^2+yz+z^2=16$
CMR: $|xy+yz+zx|$ $\leq$ $8$
 

Giả thiết suy ra:

$(y+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2=3$

và:

$(y+\frac{z}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2=16$

Nhân vế với vế.

Ta có:

$VT \geq [(y+\frac{x}{2}).\frac{\sqrt{3}x}{2}+......]^2 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2})^2 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2$

(Cauchy )

Suy ra: $48 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2$

$=>$đpcm!

 

Để đơn giản, ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l} 2000=a\\17=b \end{array} \right.$

$PT<=> \frac{(a+b)^3+b^3}{(a+b)^3+a^3}$$=\frac{a+2b}{b+2a}$$<=>\frac{(a+b)^2-b(a+b)+b^2}{(a+b)^2-a(a+b)+a^2}=1$

$<=>.........$

$=>$ luôn đúng 

 

Để đơn giản, ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l} 2000=a\\17=b \end{array} \right.$

cho ba số thực dương a;b;c thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{a+2} + \frac{3}{b+4} \leq \frac{c+1}{c+3}$
Tìm Min $Q= (a+1)(b+1)(c+1)$
 

ĐK:$<=>\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4} \leq 1-\frac{2}{c+3}$

$=>1-\frac{1}{a+2} \geq 2\sqrt{\frac{6}{(b+4)(c+3)}}$ (Cauchy)

hay: $\frac{a+1}{a+2} \geq .......$

Tương tự với 2 biến $b,c$

Nhân vế với vế 3 BĐT cùng chiều luôn dương ta được:

$\frac{Q}{(a+2)(b+3)(c+4)} \geq \frac{48}{(a+2)(b+3)(c+4)}$

$=>............$

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

P/s: Đề thi vào 10 Hải Dương 2014-2015

Ừ nhỉ Có vẻ không ổn. Bình phương khử căn cũng không được nốt

bài này khá khó

1 vài lưu ý khi xử lí bài tập là khi đặt phải có đk $k \geq 0$ và 2 thừa số trong ngoặc phải cùng tính chẵn lẻ

Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{x-1 }-(x-1)\sqrt{x-1}+1}{4-x-\sqrt{3-x}}=\frac{2+2(x-1)\sqrt{x-1}}{x}$

Mk làm ntn, mn check hộ @@

Đặt $\sqrt{3-x}=b$ và $\sqrt{x-1}=a$

$=> a^2+b^2=2$

Bài toán:

         Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1.$

          Tìm max: $F=(1+z)\sqrt{1+y}.\sqrt{1+x}$

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
3) $1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12x}$
 

PT $<=> x+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{35}{12}$

Đặt $\frac{1}{x}=sin\alpha$  $=>\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$

$<=> \frac{1}{sin\alpha }+\frac{1}{cos\alpha }= \frac{35}{12}$

Đặt $t=sin\alpha +cos\alpha => 1<t\leq \sqrt{2}$

$=>..........$

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

TK: http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=2335

Bài toán:

             Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=4-xyz.$

        Tìm min:  $A=\frac{x^3+y^3+z^3+4-4xyz}{2017+2(xy+yz+zx)}$

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

3) $1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12x}$
 

PT $ <=> x\sqrt{x^2-1}+x=\frac{35\sqrt{x^2-1}}{12}$

$=> \sqrt{x^2-1}(12x-35)=-12x$

$<=> (x^2-1)(12x-35)^2=144x^2$

Nhân tung tóe giải pt $=> x=\frac{5}{3}$

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
4) $\frac{5}{\sqrt{4-x^{2}}}+\frac{8}{x^{2}}+\frac{2x^{2}}{4-x^{2}}+\frac{5\sqrt{4-x^{2}}}{x}+4=0$
 

Đặt $t=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}+\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}$ 

$=>$ Pt $<=> 5t+2t^2+2=0$

$<=>.............$

   Giải phương trình:

       $$x\sqrt{\dfrac{4x^2-8x}{x+1}}+2\left(x^2-2x-1 \right)\sqrt{\dfrac{x+1}{x^2-2x}}-\sqrt{2\left(x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+4x+1 \right)}=x^{2}-x-1$$

Câu hỏi: Liệu có PT nào 

\[\sqrt{ax+b}= cx^2+dx+e,\] không thuộc lớp PT trên, nghĩa là không đưa về hệ đối xứng trực tiếp thông qua phép biến đổi như trên mà hệ PT sau lại có thể không?

\[\sqrt{ak^2x+bk^2}= c|k|x^2+d|k|x+e|k|,\]

trong đó  $k$ là số thực được chọn thích hợp.

 

 

Một số bài toán cùng loại (như một bản tóm tắt)- Đặt ẩn phụ đưa PT về HPT đối xứng "gần đây".

 

 

 

http://diendantoanhoc.net/topic/163938-x3-3sqrt33x-22/

 

 

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2} \rightarrow 14y^2+14y=2x+1$

 

Thay vào pt ta có:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 14y^2+14y=2x+1 \\ 14x^2+14x=2y+1 \end{matrix}\right.$

 

Đến đây đc hệ đối xứng loại hai, công việc còn lại là trừ vế cho vế

 

Cách 2: phá căn bình thường bằng cách bình phương

 

$\iff (14x^2+12x-1)(98x^2+112x+9)=0$

Xin phép bạn happypolla

Mk xin đưa ra 1 bài toán tương tự:

   Giải phương trình:       $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x+2}$

Nhìn qua thì nghĩ ngay đến pp tg tự bài trên nhưng khi khai triển lại vướng 1 số vấn đề 

P/s: BTTT: $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$ pt này có vẻ dễ dàng hơn vì khi đặt 1 ẩn phụ có thể đưa đc về hệ đ/x.