ta đặt x=1/a, y=1/b, z=1/c
khi đó $\frac{y^{2}}{x^{3}.(3y^{2}+1)}$ = $a^{3}/(b^{2}+3)$. thế vào là ra à. ở dưới mẫu rút gọn được b^{2}.
tương tự ta có : $\frac{z^{2}}{y^{3}.(3z^{2}+1)}$ = $b^{3}/(c^{2}+3)$
$\frac{x^{2}}{z^{3}.(3x^{2}+1)}$ = $c^{3}/(a^{2}+3)$
ta lại có :với cách đặt trên thì: ab+bc+ca=3.
nên BDT cần chứng minh tương đương : $a^{3}/(b^{2}+3)$ + $b^{3}/(c^{2}+3)$ + $c^{3}/(a^{2}+3)$ $\geq$ 3/4
ta dể dàng có được : $\frac{a^{3}}{b^{2}+3}$ + $frac{b^{3}}{c^{2}+3}$ + $\frac{c^{3}}{a^{2}+3}$ = $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$
ta có : $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b+c}{8}$ + $\frac{b+a}{8}$ \geq $\frac{3a}{4}$
tương tự : $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{b+c}{8}$ + $\frac{c+a}{8}$ \geq $\frac{3b}{4}$
$\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$ + $\frac{a+c}{8}$ + $\frac{b+a}{8}$ \geq $\frac{3c}{4}$
cộng vế theo vế suy ra được $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$ \geq $\frac{a+b+c}{4}$ . mà $(a+c+b)^{2}\geq 3.(ab+bc+ac)$ suy ra a+b+c \geq 3
vậy bất đẳng thức được chứng minh
- tpdtthltvp yêu thích